各类反演总结

反演就是有两个函数 $f$ 和 $g$，可以简单得出 $g$ 转化成 $f$ 的式子，那么就可以从 $f$ 推回 $g$。

内容：

• 子集反演

• 二项式反演

• 莫比乌斯反演

• 欧拉反演

• 斯特林反演

子集反演

若 $f(S)=\sum _{T\in S}g(T)$，那么 $g(S)=\sum _{T\in S}(-1{)}^{|S|-|T|}f(S)$。

其实就是一个容斥，把 $f(S)$ 当作答案集合 $\in S$ 的方案数，$g(S)$ 当作答案集合 $=S$ 的方案数。

若 $f(S)=\sum _{S\in T}g(T)$，那么 $g(S)=\sum _{S\in T}(-1{)}^{|T|-|S|}f(T)$。

同样的道理，也是一个容斥。

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[ZJOI2016] 小星星

给一张 $n(n\le 17)$ 个点的无重边无自环的无向图，给一棵 $n$ 个点的树，然后你现在要给这棵树重标号，问有多少种重标号的方案使得这棵树是原图的一棵生成树。

先树形 $\mathrm{D}\mathrm{P}$，设 $f_{i,j,S}$ 表示点 $i$ 的子树，点 $i$ 选哪个，子树对应点集 $S$ 的方案数。

转移时对于点 $x$，枚举 $x$ 选哪个，然后枚举儿子合并。

这样是 $\mathcal{O}(n^2{3}^n)$ 的。

可以直接 $\mathrm{F}\mathrm{W}\mathrm{T}$ 优化到 $\mathcal{O}(2^n{n}^3)$。

但还可以考虑容斥。