P4349 [CERC2015]Digit Division

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思路

以下纯考场思路。

今天模拟赛考到了这题的加强版，然后预处理写炸了，$100$ 变成 $70$，当是给 CSP 攒 rp 了。

首先一眼看到题目可能会没有思路，没什么关系，手推一个暴力 DP，设 $f_i$ 表示以 $i$ 为结尾的划分方案数，显而易见的转移是：$f_i=\sum _{j=1}^{i-1}{f}_j$，其中满足 $j$ 至 $i$ 组成的数满足被 $m$ 整除。

这个东西似乎难以被优化，所以考虑打几个特殊性质。

若 $m=3$，显然上述转移柿子满足的条件是 $\sum _{k=j}^i{a}_k$ 是 $3$ 的倍数，设原序列的前缀和数组为 $su{m}_i$，则此问题等价于 $su{m}_i-su{m}_{j-1}$ 是 $3$ 的倍数。

不妨根据除 $3$ 的余数分类，显然 $su{m}_i$ 若能它之前的 $su{m}_j$ 转移过来必须满足它们除 $3$ 的余数相同，而我们又可以据此推得若 $su{m}_i$ 不是 $3$ 的倍数，$f_i$ 无法转移。

为什么呢，设 $su{m}_i$ 除三的余数为 $x$，其中 $x$ 不为 $0$，那么 $x$ 从 $i$ 之前的 $x$ 转移过来，如此往前推，必将找到一个点 $j$，使得 $j$ 前面不存在除 $3$ 余数为 $x$ 的数。

把这个东西推广一下，猜个结论，不难想到若 $1$ 至 $i$ 组成的数不是 $m$ 的倍数，那么无法转移。

这个东西证明也与 $3$ 的情况类似，不再赘述。

于是前缀和优化一下即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int const N=1e6+10;
int const mod=1e9+7;
int sum[N],f[N];
signed main(){
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0),cout.tie(0);
    int n,m;cin>>n>>m;
    string s;cin>>s;s=" "+s;
    sum[0]=f[0]=1;int res=0;
    //这里 res 表示前 i 位除 m 的余数，我们的考试题限制了区间长度只能为 l~r，我没有加上 1~l 的部分，于是挂分，警示后人！
    for (int i=1;i<=n;++i){
        res*=10;res+=(s[i]-'0');res%=m;
        if (!res) f[i]=sum[i-1];
        sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%mod;
    }
    cout<<f[n]<<'\n';
    return 0;
}