趣味编程：三门问题
三门问题，也称为蒙提霍尔问题（Monty Hall Problem）。
你在参加一个节目，面前是三扇关闭着的门。其中一扇后面是小汽车，选中它就可赢得汽车，另外两扇后面各是一只羊。你选择了其中一扇，但没有打开它，这时主持人打开了剩下两扇门中的一扇，后面是一只山羊（这里有个隐含前提：主持人是知道门后的情况的）。主持人问你，要不要换另一扇仍然关闭着的门，还是就要你刚才选中的那扇。
那么问题就是，换另一扇门会增加你赢得汽车的概率么？换与不换的概率各是多少呢？
因为只剩下了两扇门，其中有一车和一羊，因此答案是换不换概率都是1/2，对么？
也有人坚信不换的概率是1/3，那么换的概率就应该是2/3？无论哪种回答，一定都会有自己的解释和逻辑。
什么是概率？无非就是某种事件发生的可能性。
如何验证概率？只有用大量的实验来统计各种事件发生的分布情况。
放到现实中，想看到这个问题的答案，只能由主持人和观众不断的重复进行游戏。
看看比如说各自100次游戏，不换门会选中多少次，换门又会选中多少次。
这就体现出了代码的优势，无需舞台无需观众无需主持人，也无需一遍又一遍的重复。
让我们直接抛开语义和逻辑上的争论，让事实来说话。
完全忠实于游戏的规则来实现：
1 import random 2 import logging 3 4 class MontyHall(object): 5 def __init__(self, num=3): 6 ''' 7 创建一个door列表 8 0表示门关闭的状态 9 1表示该门后有车 10 -1表示该门被主持人打开 11 ''' 12 self.doors = [0] * num 13 self.doors[0] = 1 14 self.choice = -1 15 self.shuffle() 16 17 def shuffle(self): 18 ''' 19 开始新的游戏 20 关闭所有打开的门（-1） 21 重新安排轿车的位置 22 ''' 23 for i in range(len(self.doors)): 24 if self.doors[i] == -1: 25 self.doors[i] = 0 26 random.shuffle(self.doors) 27 28 def makeChoice(self): 29 ''' 30 player随机选择一扇门 31 ''' 32 self.choice = random.randint(0, len(self.doors)-1) 33 logging.info('choice: %d' % self.choice) 34 logging.info('original: %s' % self.doors) 35 36 def excludeChoice(self): 37 ''' 38 主持人排除选择 39 直到只剩两扇门 40 ''' 41 toBeExcluded = [] 42 for i in range(len(self.doors)): 43 if self.doors[i] == 0 and i != self.choice: 44 toBeExcluded.append(i) 45 46 random.shuffle(toBeExcluded) 47 for i in range(len(self.doors)-2): 48 self.doors[toBeExcluded[i]] = -1 49 logging.info('final: %s' % self.doors) 50 51 def changeChoice(self): 52 ''' 53 player改变选择 54 ''' 55 toChange = [] 56 for i in range(len(self.doors)): 57 if i != self.choice and self.doors[i] != -1: 58 toChange.append(i) 59 self.choice = random.choice(toChange) 60 logging.info('choice changed: %d' % self.choice) 61 62 def showAnswer(self): 63 logging.info(self.doors) 64 65 def checkResult(self): 66 gotIt = False 67 if self.doors[self.choice] == 1: 68 gotIt = True 69 return gotIt
不改变选择：
1 def test(n): 2 result = {} 3 game = MontyHall() 4 5 for i in range(n): 6 game.shuffle() 7 game.makeChoice() 8 game.excludeChoice() 9 10 if game.checkResult(): 11 result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1 12 else: 13 result['no'] = result.get('no', 0) + 1 14 15 for key in result: 16 print('%s: %d' % (key, result[key])) 17 18 19 20 if __name__ == '__main__': 21 logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING) 22 test(10000)
yes: 3304 no: 6696
改变选择：
1 def test(n): 2 result = {} 3 game = MontyHall(3) 4 5 for i in range(n): 6 game.shuffle() 7 game.makeChoice() 8 game.excludeChoice() 9 # 改变选择 10 game.changeChoice() 11 12 if game.checkResult(): 13 result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1 14 else: 15 result['no'] = result.get('no', 0) + 1 16 17 for key in result: 18 print('%s: %d' % (key, result[key])) 19 20 21 22 if __name__ == '__main__': 23 logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING) 24 test(10000)
yes: 6691 no: 3309
可见，如果不改变，选中的概率是1/3。如果改变，选中概率为2/3。所以说，最佳策略是换门。
从逻辑上如何解释呢？
如果你每次都换，只有当你第一次选的那扇门后是汽车时，你才会输。
因为第一次选中汽车的概率是1/3，所以换门后输的概率是1/3。
也就是说，如果你每次都换，赢的概率就有2/3。
还不信么？
那我们换成50扇门再做这个游戏。你选一扇门，我把其他是羊的48扇门打开给你，最后依然剩下两扇门，你还会觉得换和不换的概率一样是1/2么？
依然觉得在50扇门中任选一个，最后中将的概率是1/2？
原理是一样的，只有你第一次就选中汽车时（1/50概率），换门才会失去大奖。其他的情况，换门都会让你赢得大奖，概率为49/50。
再次用代码来验证：
1 def test(n): 2 result = {} 3 game = MontyHall(50) 4 5 for i in range(n): 6 game.shuffle() 7 game.makeChoice() 8 game.excludeChoice() 9 game.changeChoice() 10 11 if game.checkResult(): 12 result['yes'] = result.get('yes', 0) + 1 13 else: 14 result['no'] = result.get('no', 0) + 1 15 16 for key in result: 17 print('%s: %d' % (key, result[key])) 18 19 20 21 if __name__ == '__main__': 22 logging.basicConfig(format='%(levelname)s:%(message)s', level=logging.WARNING) 23 test(10000)
yes: 9794 no: 206
依然不相信？
逻辑分析和事实数据都不能让你相信？还是认为最后的概率都是1/2？
那我只好遗憾的表示，三门问题的答案是确定的，不存在任何争议。
自己去科普一下吧，不要困在自己的局限的认知里。
附上一个科普节目，让大名鼎鼎的流言终结者（S09E21）来扫盲吧。
如果逻辑分析+实验事实+科普节目都无法让你放弃1/2的结论，那我真无能为力了：）
