Python退火算法在高次方程的应用
一，简介
退火算法不言而喻，就是钢铁在淬炼过程中失温而成稳定态时的过程，热力学上温度（内能）越高原子态越不稳定，而温度有一个向低温区辐射降温的物理过程，当物质内能不再降低时候该物质原子态逐渐成为稳定有序态，这对我们从随机复杂问题中找出最优解有一定借鉴意义，将这个过程化为算法，具体参见其他资料。
二，计算方程
我们所要计算的方程是f(x) = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9),是一个一元四次方程，我们称为高次方程，当然这个函数的开口是向上的，那么在一个无限长的区间内我们可能找不出最大值点，因此我们尝试在较短区间内解最小值点，我们成为最优解。
解法1：
毫无疑问，数学方法多次求导基本可以解出，但是这个过程较复杂，还容易算错，我就不赘述了，读者有时间自己可以尝试解一下。
解法二：
这个解法就是暴力解决了，我们这里只求解区间[-10,10]上的最优解，直接随机200个点，再除以10（这样可以得到非整数横坐标），再依此计算其纵坐标f（x），min{f(x)}一下，用list的index方法找出最小值对应位置就行了，然后画出图形大致瞄一瞄。
直接贴代码：
1 import random 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 4 list_x = [] 5 # for i in range(1): 6 # #print(random.randint(0,100)) 7 # for i in range(0,100): 8 # print("sss",i) 9 # 10 # list_x.append(random.randint(0,100)) 11 for i in range(-100,100): 12 list_x.append(i/10) 13 14 print("横坐标为：",list_x) 15 print(len(list_x)) 16 17 18 list_y = [] 19 for x in list_x: 20 # print(x) 21 #y = x*x*x - 60*x*x -4*x +6 22 y = (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 23 list_y.append(y) 24 print("纵坐标为：",list_y) 25 26 #经验证，这里算出来的结果6.5和最优解1549都是对的 27 print("最小值为：",min(list_y)) 28 num = min(list_y) 29 print("最优解：",list_y.index(num)/10) 30 print("第",list_y.index(num)/10-10,"个位置取得最小值") 31 32 plt.plot(list_x, list_y, label='NM') 33 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line') 34 plt.xlabel('X') #横坐标标题 35 plt.ylabel('Y') #纵坐标标题 36 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right") #图像标题 37 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out') 38 plt.legend() #显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置 39 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png') 40 plt.show()
得到如下结果：
那么我们得出最优解的坐标是（6.5，-1549.6875），结果先放这里，接下来用退火算法看能不能解出。
解法三：
我们看一张图（解法二中的方法得出的图），然后讲讲退火算法的最核心的思想。
首先，先随机一个[-10.10]之间的随机解，作为初始解空间，比方说随机了一个位于[-2.5.2.5]中最高的那个点就是点1(横坐标为x1)，他有对于的纵坐标的值y1，这时候我们把这个点的横坐标随机加或者减去一个值（注意这个值的大小很重要，我们先叫他随机移动值），加或者减后得到新的横坐标的值x2，再算出这个横坐标的对应纵坐标（y2），对比之前的纵坐标的大小，这里设置
delta = y2-y1，发现无论怎样都是小于原先的纵坐标（前提是随机移动值足够小），这时候我们把新得到的x2赋值给x1，这时候现在的x2的值传给x1，x1是原先随机的值，这个过程可以重复iter_num 次，大小就根据自己的区间来。
上述的整个过程是在一个温度下进行的，这个过程结束后我们用温度更新公式再次的更新温度，再去重复上述步骤。
温度更新我是用的常用的公式是T(t)=aT0(t-1)，其中0.85≦a≦0.99。也可用相应的热能衰减公式来计算，T(t)=T0/(1+lnt),t=1,2,3,...，这都是简单的状态更新方法。
也就是说，不管你随机的是几我都能朝着优化的方向前进（前提是非最优点）。
其次，点2 是同理的，区别在于他是局部最优解，那么跳出这个局部最优解的机制是什么呢？
若初始点是（x3,y3）,然后用上述方法得出（x4,y4），在点二处得到的delta肯定是大于0的，那么怎么办呢？当大于0的时候我们每次都有一定的概率来接受这个看起来不是最优的点，叫Metropolis准则，具体是这样的：
这里的E就是y，T就是当前温度，delta小于0就是百分百接受新值，否者就是按照这个概率接受，当迭代多次的时候，每次向右移动的步长累加到点1 时候他就有可能找到最终的最优解了，步长是累加的但是概率是累成的，意味着这个概率很小，但是一旦迭代次数多久一定会跑出来到最优解处。
最优，点3不解释了哈，和上面一样。
那么我们上代码：
1 #自己改写的退火算法计算方程(x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)的计算方法 2 #class没啥用 3 import numpy as np 4 import matplotlib.pyplot as plt 5 from matplotlib import pyplot as plt 6 7 8 #设置基本参数 9 #T初始温度，T_stop，iter_num每个温度的迭代次数，Q温度衰减次数 10 class Tuihuo_alg(): 11 def __init__(self,T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x): 12 self.T_start = T_start 13 self.iter =iter_num 14 self.T_stop = T_stop 15 self.Q = Q 16 self.xx = xx 17 self.init_x = init_x 18 # def cal_x2y(self): 19 # return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 20 21 22 if __name__ == '__main__': 23 24 def cal_x2y(x): 25 #print((x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9)) 26 return (x - 2) * (x + 3) * (x + 8) * (x - 9) 27 T_start = 1000 28 iter_num = 1000 29 T_stop = 1 30 Q = 0.95 31 K = 1 32 l_boundary = -10 33 r_boundary = 10 34 #初始值 35 xx = np.linspace(l_boundary, r_boundary, 300) 36 yy = cal_x2y(xx) 37 init_x =10 * ( 2 * np.random.rand() - 1) 38 print("init_x:",init_x) 39 40 t = Tuihuo_alg(T_start,iter_num,T_stop,Q,xx,init_x) 41 42 val_list = [init_x] 43 while T_start>T_stop: 44 for i in range(iter_num): 45 init_y = cal_x2y(init_x) 46 #这个区间(2 * np.random.rand() - 1)本身是（-1,1），所以加上就是一个随机加或者减过程 47 new_x = init_x + (2 * np.random.rand() - 1) 48 if l_boundary <= new_x <= r_boundary: 49 new_y = cal_x2y(new_x) 50 #print("new_x:",new_x) 51 #print('new_y:',new_y) 52 delta = new_y - init_y #新减旧 53 if delta < 0: 54 init_x = new_x 55 else: 56 p = np.exp(-delta / (K * T_start)) 57 if np.random.rand() < p: 58 init_x = new_x 59 #print("new_x:",new_x) 60 #print("当前温度：",T_start) 61 T_start = T_start * Q 62 63 print("最优解x是：", init_x) #这里最初写的是new_x,所以结果一直不对 64 print("最优解是：", init_y) 65 #比如我加上new_x，真假之间的误差实际就是最后一次的赋值“init_x = new_x” 66 print("假最优解x是：", new_x) #这里最初写的是new_x,所以结果一直不对 67 print("假最优解是：", new_y) 68 69 xx = np.linspace(l_boundary,r_boundary,300) 70 yy = cal_x2y(xx) 71 plt.plot(xx, yy, label='Tuihuo') 72 #plt.plot(x2, y2, label='Second Line') 73 plt.xlabel('X for tuihuo') #横坐标标题 74 plt.ylabel('Y for tuihuo') #纵坐标标题 75 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out',loc="right") #图像标题 76 #plt.title('Interesting Graph\nCheck it out') 77 plt.legend() #显示Fisrt Line和Second Line（label）的设置 78 plt.savefig('C:/Users/zhengyong/Desktop/1.png') 79 plt.show()
这里用了class，发现并不需要，但是不想改了，就这样吧。
最优结果为：
得出的示意图为：
三，总结
退火算法的具体思想我没怎么讲，但是核心的点我都写出来了，经过验证发现退火算法得出了（6.551677228904226，-1548.933671426107）的最优解，看看解法二的（6.5，-1549.6875），我们发现，呵呵，差不多，误差来讲的话，能接受，当然读者也可以多跑几个数据出来验证。
我的实验环境是Python3.6，Numpy1.14.3，matplotlib2.2.2，64位win10，1709教育版，OS内核16299.547，就这样吧，尽量讲详细点。