关于Position Encoding 的理解

encoding#

Sinusoidal Position Encoding

$$\begin{aligned} P E_{(p o s, 2 i)} &=\sin \left(\frac{p o s}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right) \\ P E_{(p o s, 2 i+1)} &=\cos \left(\frac{p o s}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right) \end{aligned}$$

pos + k 位置的encoding可以通过pos位置的encoding线性表示。它们的关系可以通过三角函数公式体现：

$$\begin{array}{l} \sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha \cdot \cos \beta+\cos \alpha \cdot \sin \beta \\ \cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta \end{array}$$

位置为 pos + k 的positional encoding 可以表示如下：

$$\begin{array}{l} P E_{(p o s+k, 2 i)}=\sin \left(w_{i} \cdot(p o s+k)\right)=\sin \left(w_{i} p o s\right) \cos \left(w_{i} k\right)+\cos \left(w_{i} p o s\right) \sin \left(w_{i} k\right) \\ P E_{(p o s+k, 2 i+1)}=\cos \left(w_{i} \cdot(p o s+k)\right)=\cos \left(w_{i} p o s\right) \cos \left(w_{i} k\right)-\sin \left(w_{i} p o s\right) \sin \left(w_{i} k\right) \end{array} \\ w_{i}=\frac{1}{10000^{2 i / d_{\text {model}}}}$$

化简如下：

$$\begin{aligned} P E_{(p o s+k, 2 i)} &=\cos \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i)}+\sin \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i+1)} \\ P E_{(p o s+k, 2 i+1)} &\left.=\cos \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i+1)}-\sin \left(w_{i} k\right) P E_{(p o s, 2 i)}\right) \end{aligned}$$

其中与k相关的项都是常数，所以 $PE_{pos+k}$ 可以被 $PE_{pos}$ 线性表示。

由于

$$P E_{(p o s, 2 i)} =\sin \left(pos \cdot \frac{1}{10000^{\frac{2 i}{d_{\text {model}}}}}\right) \\ T = 2 \pi \cdot 10000^{\frac{2i}{d_model}}$$

所以i越大，周期就越大。周期的范围从 $2 \pi$ 到 $2 \pi \cdot 10000$

Bert 中的 positional encoding#

源码：

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class BertEmbeddings(nn.Module):

    def __init__(self, config):
        super().__init__()
        self.word_embeddings = nn.Embedding(config.vocab_size, config.hidden_size, padding_idx=config.pad_token_id)	# (vocab_size, hidden_size)
        self.position_embeddings = nn.Embedding(config.max_position_embeddings, config.hidden_size)			# (512, hidden_size)
        self.token_type_embeddings = nn.Embedding(config.type_vocab_size, config.hidden_size)				# (2， hidden_size)

        # self.LayerNorm is not snake-cased to stick with TensorFlow model variable name and be able to load
        # any TensorFlow checkpoint file
        self.LayerNorm = BertLayerNorm(config.hidden_size, eps=config.layer_norm_eps)
        self.dropout = nn.Dropout(config.hidden_dropout_prob)

Bert 中的embedding是用三个embedding加起来的， positional encoding 也没有采用transformer中的三角函数，而是通过Embedding层训练得到。