【题解】APIO2013机器人
其实这题前前后后的思考时间加起来应该有两天之久了，dp状态，转移方式等等都还是比较好想，然而左看右看觉得spfa复杂度未免太爆炸……然后选择看了一篇题解，发现在多重优化之下，其实是可以过的……
首先建立状态，这个应该比较明显：\(f[l][r][x][y]\) 代表合并完区间 \(l\) ~\(r\) 之后，机器人停在 \(x,y\) 处所需要的最少移动次数。转移状态即为：
\(f[l][r][x][y] = f[l][k][x][y] + f[k + 1][r][x][y] \left ( l <= k <= r \right )\)
\(f[l][r][x][y] = f[l][r][x'][y'] + 1 \)
其中第二个转移发生的条件是 \(x',y'\) 可以一步到达 \(x,y\)。第二个转移状态就是在之前的博客中所提及的那样：1.满足三角形不等式；2.不满足拓扑序；针对这样的转移，我们用 spfa 来优化 dp 的转移。注意在这张图中，边权均为1。在单源的最短路中，这样的图spfa可以优化为bfs， 在多源最短路中我们可以使用两个队列来进行优化。这两个队列分别存储新增的节点 & 被松弛所以要去松弛其余节点的节点。这样将节点分类之后，每一次取出队首元素权值更小的进行松弛操作。我们会发现第二个队列中节点的权值是单调的（在边权为1的图中，先访问到的节点权值更小），而第一个队列中的元素我们使用基数排序来排。（并不知道为什么要用基数排序，或许就是比较快吧？）
然后这份代码是我抄的大佬的代码，非常感谢了。其中有一个小小的技巧：memset的时候默认赋给节点当前数据类型的最大值，相加会溢出。但对于这种没有正负要求的，我们可以利用 unsigned 自然溢出使得结果依然是最大值。(･ω<)☆ 感觉这题还是挺毒的，差点就被毒死了……
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define maxn 505 #define maxk 400000 #define uns unsigned short #define INF 32639 int n, W, H, ans = INF; int mark[maxn][maxn][5]; int L, R; uns f[12][12][maxn][maxn]; int cnt, top, tank[maxk], S[maxk]; char Map[maxn][maxn]; bool vis[maxn][maxn]; int dxy[4][2] = {{0,1}, {1,0}, {0,-1}, {-1,0}}; struct node { int x, y; node(int xx = 0, int yy = 0) { x = xx, y = yy; } }g[maxn][maxn][5], pos[11], q[maxk]; queue <node> q1, q2; int read() { int x = 0, k = 1; char c; c = getchar(); while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); } while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar(); return x * k; } void gmin(uns &x, uns y) { x = x > y ? y : x; } node dfs(int x, int y, int k) { if(mark[x][y][k] == cnt) return g[x][y][k] = node (-1, -1); mark[x][y][k] = cnt; if(g[x][y][k].x != 0 && g[x][y][k].y != 0) return g[x][y][k]; int pre = k; if(Map[x][y] == 'A') k = (k + 3) % 4; else if(Map[x][y] == 'C') k = (k + 1) % 4; int xx = x + dxy[k][0], yy = y + dxy[k][1]; if(xx < 1 || yy < 1 || xx > H || yy > W || Map[xx][yy] == 'x') return g[x][y][pre] = node(x, y); return g[x][y][pre] = dfs(xx, yy, k); } void spfa() { memset(tank, 0, sizeof(tank)); for(int i = 1; i <= top; i ++) tank[f[L][R][q[i].x][q[i].y]] ++; for(int i = 1; i <= INF; i ++) tank[i] += tank[i - 1]; for(int i = 1; i <= top; i ++) S[tank[f[L][R][q[i].x][q[i].y]] --] = i; for(int i = 1; i <= top; i ++) q1.push(q[S[i]]); top = 0; while(!q1.empty() || !q2.empty()) { node now; if(q1.empty()) now = q2.front(), q2.pop(); else if(q2.empty()) now = q1.front(), q1.pop(); else { int x1 = q1.front().x, y1 = q1.front().y; int x2 = q2.front().x, y2 = q2.front().y; if(f[L][R][x1][y1] <= f[L][R][x2][y2]) now = q1.front(), q1.pop(); else now = q2.front(), q2.pop(); } vis[now.x][now.y] = 0; for(int i = 0; i < 4; i ++) { node v = g[now.x][now.y][i]; if(v.x == -1 || v.y == -1) continue; if(f[L][R][v.x][v.y] > f[L][R][now.x][now.y] + 1) { f[L][R][v.x][v.y] = f[L][R][now.x][now.y] + 1; if(!vis[v.x][v.y]) vis[v.x][v.y] = 1, q2.push(v); } } } } int main() { n = read(), W = read(), H = read(); memset(f, 127, sizeof(f)); for(int i = 1; i <= H; i ++) { scanf("%s", Map[i] + 1); for(int j = 1; j <= W; j ++) if(Map[i][j] > '0' && Map[i][j] <= '9') pos[Map[i][j] - '0'] = node(i, j); } for(int i = 1; i <= H; i ++) for(int j = 1; j <= W; j ++) if(Map[i][j] != 'x') for(int k = 0; k < 4; k ++) ++ cnt, dfs(i, j, k); for(int i = 1; i <= n; i ++) { vis[pos[i].x][pos[i].y] = 1; q[++ top] = pos[i]; L = R = i; f[i][i][pos[i].x][pos[i].y] = 0; spfa(); } for(int l = 2, j; l <= n; l ++) for(int i = 1; (j = i + l - 1) <= n; i ++) { for(int x = 1; x <= H; x ++) for(int y = 1; y <= W; y ++) { for(int k = i; k < j; k ++) gmin(f[i][j][x][y], f[i][k][x][y] + f[k + 1][j][x][y]); if(f[i][j][x][y] < INF) q[++ top] = node(x, y), vis[x][y] = 1; } L = i, R = j; spfa(); } unsigned short ans = INF; for(int i = 1; i <= H; i ++) for(int j = 1; j <= W; j ++) ans = min(ans, f[1][n][i][j]); if(ans < INF) printf("%u\n", ans); else printf("-1\n"); return 0; }
