【题解】SDOI2010地精部落

强！强！强！强！劲啊劲啊劲啊！！！洛谷P2467

非常重要的，就在于发现以下的两条性质：

1.当i与i+1不相邻时，方案数是一样的：交换这两个数，<i+1的必然<i,>i+1的必然>i，又因为i+1与i不相邻，所以>i的>i+1,<i+1的也<i。

2.将每个数变成(n+1-i)时，仍然是满足性质的波动序列，且山峰与山谷反置。这个怎么理解呢？可以当做补全柱状图，画一画就是一个显而易见的结论。

那么我们定义状态dp[i][j]为将前i个数排列组合，且j为第一个山峰的合法方案数。

由第一条性质可得：当j与j-1不相邻的时候，dp[i][j]=dp[i][j-1];

那么当j与j-1相邻的时候呢？可以注意到，j>j-1,j为山峰，j-1为山谷。我们所求的实际上就是包含了1-j-1,j+1-i这些数且开头为j-1的山谷的方案数。

这个东西要怎样通过之前的状态表示出来呢？可以发现有两个障碍：1.区间不连续 2.开头为山谷。

针对1,我们发现方案数与数字的大小并无关系，只与数字的相对大小有关。而j+1-i中的所有数都>1-j-1的数，将前一部分中的每个数减去1，就可以得到1-i-1的连续区间，且因为没有改变相对位置的关系，所以方案数是相同的。

针对2,我们运用第2条性质，将山峰与山谷反置。

综上所述，我们所求的即是dp[i-1][(i-1)+1-(j-1)] --> dp[i-1][i-j+1];

所以得到完整的dp方程：dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-1][i-j+1];为了节约空间，我们可以使用滚动数组来计算。

答案为sigma(dp[n][i])(i=2~n)*2.为什么要乘以二？以x为山峰的所有方案反置即得到以(n+1-x)为山谷的方案数，所以要计算两次。

非常棒的一道题目呀

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 4300
#define ll long long 
ll n, p, dp[2][maxn], ans;
int main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    int pre = 0, now = 1;
    dp[0][2] = 1;
    for(int i = 3; i <= n; pre ^= 1, now ^= 1, i ++)
        for(int j = 2; j <= i; j ++)
            dp[now][j] = (dp[now][j - 1] + dp[pre][i - j + 1]) % p;    
    now ^= 1;
    for(int i = 2; i <= n; i ++) ans = (ans + dp[now][i]) % p;
    printf("%lld", (ans << 1) % p);
    return 0; 
}