数据结构 最小生成树之Kruskal算法

Kruskal算法

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法

大话数据结构定义

假设 N=(V,{E})N=(V,{E})。图中每个顶点自成一个连通分量。在E中选择代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上，则将此边加入到T中，否则社区此边而选择下一条代价最小的边，以此类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止。

基本思想

按照权值从小到大的顺序选择n - 1条边，并保证这n - 1条边不构成回路

具体做法

首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林不产生回路，直至森林变成过一棵树为止

Kruskal算法图解

以上图G4为例，使用克鲁斯卡尔算法进行演示实现最小生成树，用parent表示

第零步： 将邻接矩阵转换为边表数组，并且按权值大小排序

第一步： 将边<E,F><E,F>加入最小生成树中

​ 边<E,F><E,F>的权值最小，故将其加入最小生成树

第二步： 将边<C,D><C,D>加入最小生成树中

​ 上一步操作后， 边<C,D><C,D>的权值最小，故将其加入最小生成树

第三步： 将边<D,E><D,E>加入最小生成树中

​ 上一步操作后， 边<D,E><D,E>的权值最小，故将其加入最小生成树

第四步： 将边<B,F><B,F>加入最小生成树中

​ 上一步操作后，边<C,E><C,E>

第五步：将边<E,G><E,G>加入到最小生成树中

​ 上一步操作后，边<E,G><E,G>的权值最小，故将其加入到最小生成树中

第六步： 将边<A,B><A,B>加入到最小生成树中

​ 上一步操作后，边<F,G><F,G>加入

此时，最小生成树构造完成，含有的依次为<E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B><E,F><C,D><D,E><B,F><E,G><A,B>

Kruskal算法要点

1. 对图的所有边按照权值大小排序

此问题可通过代码实例理解

• 将边添加到最小生成树中，如何判断是否形成回路

• 通过记录每个顶点在最小生成树中的终点。终点即在最小生成树中与它连通的最大顶点。每次添加一条边到最小生成树中时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合则构成回路。

  

  在将<E,F><C,D><D,E><E,F><C,D><D,E>加入到最小生成树中后，这几条边的顶点就都有了终点

  • C的终点是F
  • D的终点是F
  • E的终点是F
  • F的终点是F

  关于终点，就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是”与它连通的最大顶点”。 虽然边<C,E><C,E>权值最小，但终点都是F， 故会形成回路

  Kruskal算法代码

  Edge边集数组结构

  typedef struct
  {
      int begin;
      int end;
      int weight;
  }Edge;
   
  
   
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  算法

  /* 生成最小生成树 */
  void MiniSpanTree_Kruskal(MGraph G)
  {
      int i, j, n, m;
      int k = 0;
      int parent[MAXVEX];  /* 定义一数组用来判断边与边是否形成环路 */
      Edge edges[MAXEDGE];  /* 定义边集数组,edge的结构为begin,end,weight,均为整型 */
  
      /* 用来构建边集数组并排序********************* */
      for(i = 0; i < G.numVertexes - 1; i++)
      {
          for(j = i + 1; j < G.numVertexes; j++)
          {
              if(G.arc[i][j] < INF)
              {
                  edges[k].begin = i;
                  edges[k].end = j;
                  edges[k].weight = G.arc[i][j];
                  k++;
              }
          }
      }
      sort(edges, &G);
      /* ******************************************* */
  
      printf("打印最小生成树：\n");
  
      for(i = 0; i < G.numVertexes; i++)
          parent[i] = 0;  /* 初始化数组值为0 */
  
      for(i = 0; i < G.numEdges; i++)  /* 循环每一条边 */
      {
          n = Find(parent, edges[i].begin);
          m = Find(parent, edges[i].end);
          if(n != m)  /* 假如n与m不等，说明此边没有与现有的生成树形成环路 */
          {
              parent[n] = m;  /* 将此边的结尾顶点放入下标为起点的parent中。 表示此顶点已经在生成树集合中*/
              printf("(%d, %d) %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight);
          }
      }
  
  }
   
  
   
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  算法源码

  邻接矩阵源码

  参考资料

  • Kruskal算法(一)之 C语言详解