判断两条线段是否相交—（向量叉乘）

 

问题：给出两条线段，问两线段是否相交？

 

向量叉乘（行列式计算）：向量a（x1，y1），向量b（x2，y2）：

 

首先我们要明白一个定理：向量a×向量b（×为向量叉乘），若结果小于0，表示向量b在向量a的顺时针方向；若结果大于0，表示向量b在向量a的逆时针方向；若等于0，表示向量a与向量b平行。（顺逆时针是指两向量平移至起点相连，从某个方向旋转到另一个向量小于180度）。如下图：

在上图中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆时针方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的顺势针方向。即叉乘结果大于0，后一个在前一个的逆时针方向；小于零，后一个在前一个的顺时针方向。

 

那如何来判断两线段是否相交呢？

假设有两条线段AB，CD，若AB，CD相交，我们可以确定：

1.线段AB与CD所在的直线相交，即点A和点B分别在直线CD的两边；

2.线段CD与AB所在的直线相交，即点C和点D分别在直线AB的两边；

上面两个条件同时满足是两线段相交的充要条件，所以我们只需要证明点A和点B分别在直线CD的两边，点C和点D分别在直线AB的两边，这样便可以证明线段AB与CD相交了。

 

那判断两线段是否相交与一开始提到的向量叉乘定理有什么关系呢？有，我们可以通过叉乘来证明上面说的充要条件。看下图：

 

在上图中，线段AB与线段CD相交，于是我们可以得到两个向量AC，AD，C和D分别在AB的两边，向量AC在向量AB的逆势针方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的顺势针方向，AB×AD < 0，两叉乘结果异号。

这样，方法就出来了：如果线段CD的两个端点C和D，与另一条线段的一个端点（A或B，只能是其中一个）连成的向量，与向量AB做叉乘，若结果异号，表示C和D分别在直线AB的两边，若结果同号，则表示CD两点都在AB的一边，则肯定不相交。

当然，不能只证明C，D在直线AB的两边，还要用相同的方法证明A，B在直线CD的两边，两者同时满足才是线段相交的充要条件。

 

不过，线段相交还有一些特殊情况：

1.只有1点相交，如下图：

 

上图中，线段AB与CD相交于C点，按照之前介绍的方法，我们可以连成两向量AD和AC，这时候，我们发现，AC与AB共线，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；两者并不异号，可实际上仍然相交。所以当出现两叉乘结果中，有一方为0，也可以看成点CD在直线AB的两边。

 

2.两条线段重合，如下图：

 

在上图中，线段AB与线段CD重合，重合部分为CB，这种重合的情况要特殊判断：

首先，我们给没条线段的两个端点排序，大小判断方法如下：横坐标大的点更大，横坐标相同，纵坐标大的点更大。

排好序后，每条线段中，小的点当起点，大的当终点。我们计算向量AB×向量CD，若结果为0，表示线段AB平行CD，平行才有了重合的可能；但平行也分共线和不共线，只有共线才有可能重合，看下图：

上图中，第一种情况不共线，第二种情况共线。那如何来判断是否共线呢？

我们可以在两条线段中各取一点，用这两点组成的向量与其中一条线段进行叉乘，结果若为0，就表示两线段共线，如下图：

我们取向量BC，若BC×CD = 0，表示两点共线，即是第二种情况，否则就是第一种情况。第一种情况肯定不相交。猴子为什么不喜欢平行线？因为他们没有相交。。。（尬）

然然然然然而，即使他们共线，却还是不一定重合，就如上图中第二种情况。这时候，之前给点排序的妙处就体现出来了：

若一条线段AB与另一条线段CD共线，且线段AB的起点小于等于线段CD的起点，但线段AB的终点（注意是终点）大于等于线段CD的起点（注意是起点），或者交换一下顺序，CD的起点小于AB的起点......只要满足其中一个，就表示有重合部分。

 

下面来道例题：51nod1264（模板）

代码：

 

#include<iostream> 
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#define eps 1e-7
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793238462643383279
using namespace std;
struct node{
    double x,y;
}; 

double cmp(node a,node b) //给线段的坐标排序 
{
    if(a.x != b.x)
        return a.x < b.x;
    else
        return a.y < b.y;
}

double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //计算叉乘的结果 
{
    return x1*y2 - y1*x2;
}

int compare(node a,node b) //比较坐标的大小  
{
    if(a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y)
        return -1;
    else if(a.x == b.x && a.y == b.y)
        return 0;
    else return 1;
}

int main()
{
    int t;
    node po[4];
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        for(int i=0; i<4; ++i)
            scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y);
        
        sort(po,po+2,cmp); //给第一条线段的坐标排序 
        sort(po+2,po+4,cmp); //给第二条排序 
        /*for(int i=0; i<4; ++i)
            cout<<po[i].x<<' '<<po[i].y<<endl;*/
        
        int flag;
        if(!compare(po[0],po[2]) || !compare(po[0],po[3]) || !compare(po[1],po[2]) || !compare(po[1],po[3])) //若有某一点重合，则肯定相交 
            flag = 1;
        
        else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) ==0 ) //若两线段平行 
        {
            if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y) == 0) //若两线段共线 
            {
                if(compare(po[0],po[2]) <= 0 && compare(po[1],po[2]) >= 0) //第一条起点小于第二条起点，第一条终点大于第二条起点 
                    flag = 1;
                else if(compare(po[2],po[0]) >= 0 && compare(po[3],po[0]) <= 0) //第二条起点小于第一条起点，第二条终点大于第一条起点 
                    flag = 1;
                else flag = 0;
            }
            else flag = 0;
        }
        
        else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //若不平行 
        {
            double num1,num2,num3,num4;
            num1 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y); //计算第一条的两个端点 
            num2 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y); //在第二条线段的两边 
            num3 = compute(po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //计算第二条的两个端点 
            num4 = compute(po[1].x-po[2].x , po[1].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //在第一条线段的两边 
            //cout<<num1<<' '<<num2<<' '<<num3<<' '<<num4<<endl;
            if(num1*num2 < 0 && num3*num4 <= 0 || num1*num2 <= 0 && num3*num4 < 0) //等于0表示成180度角
                flag = 1;
            else
                flag = 0;
        }
        
        else flag = 0;
        if(flag) cout<<"YES\n";
        else cout<<"NO\n";
        
    }
}

 

参考博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_735b07180100uivu.html