poj2480——Longge's problem（欧拉函数）

Longge's problem

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Description

Longge is good at mathematics and he likes to think about hard mathematical problems which will be solved by some graceful algorithms. Now a problem comes: Given an integer N(1 < N < 2^31),you are to calculate ∑gcd(i, N) 1<=i <=N. 

"Oh, I know, I know!" Longge shouts! But do you know? Please solve it. 

Input

Input contain several test case. 
A number N per line. 

Output

For each N, output ,∑gcd(i, N) 1<=i <=N, a line

Sample Input

2
6

Sample Output

3
15


题意：给出一个数n，让你求1-n中所有的数与n的最大公约数的和。

思路：这题是欧拉函数的应用。假设x与n的最大公约数是a，也就是gcd（x，n）=a，那么我们就可以知道gcd（x/a，n/a）=1，也就是x/a与n/a互质。
这说明在1-n中与 n 的最大公约数为a的数都与n/a互质，所以我们就用欧拉函数求出1-n/a中，与n/a互质的数有多少个，其中，a是n的约数，所以遍历所有n的约数。
这题求的是与n的最大公约数的和sum，所以当a是n的约数时，sum就要加上a*欧拉（n/a）；

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<queue>
#define eps 1e-7
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define pi 3.141592653589793238462643383279
using namespace std;
ll euler(ll n) // 求欧拉函数值 
{
    ll res = n,a = n;
    for(ll i=2; i*i<=a; ++i)
    {
        if(a%i==0)
        {
            res = res/i*(i-1);
            while(a%i==0) a /= i;
        }
    }
    if(a > 1) res = res/a*(a-1);
    return res;
}

int main()
{
    ll n;
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        ll ans=0;
        for(ll i=1; i*i<=n; ++i) //遍历求n的约数 
        {
            if(n%i == 0)  
            {
                ans += i*euler(n/i); //euler(n/i)求出与 n 的最大公约数为 i 的数有多少，再乘上公约数 i  
                if(n/i != i)
                    ans += euler(i)*(n/i); //同理求出与n的最大公约数为n/i的数有多少 
            }
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}