约瑟夫环问题

约瑟夫问题是一个著名问题：N个人围成一圈，第一个人从1开始报数，报M的将被杀掉，下一个人接着从1开始报。如此反复，剩下最后一个人，求最后的胜利者。

例如只有三个人，把他们叫做A,B,C。 从A开始报数，把报2的杀掉。
 - 首先A报数，他报1，逃过一劫
 - 然后B报数，他报2，真惨，他被杀了
 - 然后C继续报数，他报1，逃过一劫
 - 接着轮到A报数，他报2，躲得过初一躲不过15，他被杀了
 - 所以C是最后的胜利者

约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为了方便导出递推式，我们重新定义一下题目。

问题：N个人编号为1~N，依次报数，每当报道M的时候，杀掉那个人，求最终胜利者的编号

下面我们不用字母表示每一个人，而是用数字。
1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11
表示11个人，他们排成一排，假设报数为3的人会被杀掉。

• 刚开始的时候，头一个人的编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号为3的人。
• 编号为4的人从1开始报数，这个时候我们可以认为编号为4的人是这个队伍的头，第二轮被杀掉的是编号为6的人。
• 编号为7的人重新报数，这个时候我们可以认为编号为7的人是这个队伍的头，第三轮被杀掉的是编号为9的人。
• ......
• 第九轮的时候，编号为2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
• 下一个还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
• 最后的胜利者是编号为7的人。

根据上面的推理，我们可以得到如下的一张表（黄色代表每一轮被淘汰的人）

假设我们使用f(N,M)来表示N个人报数时候，每报道M的人被淘汰的时候，最终胜利者的下标编号。
所以f(N-1,M)表示N-1个人报数时候，每报道M的人被淘汰的时候，最终胜利者的下标编号。

将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置

• f(1,3)：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
• f(2,3)=(f(1,3)+3)%2=3%2=1：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
• f(3,3)=(f(2,3)+3)%3=4%3=1：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
• f(4,3)=(f(3,3)+3)%4=4%4=0：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
• ......
• f(11,3)=(f(10,3)+3)%11=6

因此可以得出递推公式
f(N,M) = (f(N-1,M) + M)%N

那我们改如何推导这个公式呢？

• 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
  • 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。
• 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那上一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
  • 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以f(11,3)=f(10,3)+3。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数，f(11,3)=（f(10,3)+3）%11
• 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的?
  • 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既f(N,M)=(f(N−1,M)+M)%N

注：理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。

public static int yuesefu(int n,int m){
    if(n < 1 || m < 1){
        return -1;
    }
    
    int win = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        win = (win + m)%i;
    }
    return win + 1;        
}