每日一题 2020.10.20

题目

1.设 \(m\) 为大于 \(1\) 的正整数,且 \(m|(m-1)!+1\). 证明: \(m\) 是一个素数.

2.设 \(p\) 为正整数,且 \(2^p-1\) 是素数. 证明: \(p\) 为素数.

题解

分析

1.我们可以采用反证法，这类题可以先尝试反证法进行分析。

2.观察发现，\(2^n-1\) 诸如此类的式子可以尝试进行因式分解来反证其为素数。

过程

1.设 \(m\) 是一个合数，则 \(p|m\) ，且 \(2 \le p < m\)，
所以 \(p|(m-1)!\)，
因为 \(m|(m-1)! + 1\)，
所以 \(p|(m - 1)! + 1\)，
这使得 \(p | 1\)，矛盾
故 \(m\) 是一个素数。

2.若 \(p\) 为合数，设 \(p = qr,2 \le q \le r\)，则
\(2^p - 1 = (2^q)^r - 1 = (2^q-1)((2^q)^{r-1}+(2^q)^{r-2}+…+1)\)，
这导致 \(2^q - 1|2^p - 1\)，与 \(2^p-1\) 是素数矛盾.故 \(p\) 为素数.

小结

反证法需要与题设矛盾。

错误及不规范的地方望大家指出。