2^29哪个数字没有出现？

　　这个有趣的问题出自Berlekamp和Buhler在Emissary[3]2006 spring/fall卷上所做的迷题专栏。http://www.crcnetbase.com/doi/abs/10.1201/b10592-4 Numerical Conundrums.他们从数论学家Hendrik Lenstra那儿听到这个问题。你可以在Google中输入“2^29”来查看你这个数字，然而是否有一种简单的方式通过心算或者简单的笔算就可以将结果得到呢？

　　你可能会想起在学校中学到的一种称为“除9校验”的技巧。

　　定理1：10^n =1 (mod 9) n为任意自然数。

　　定理2：任意正整数mod 9等于其所有数字之和mod 9.

　　简单证明：任意正整数都可写成每一位数字乘以10^i次幂累加的形式，根据定理1，不难得到定理2.

　　定理3：我们记x^* 为x的各位数字的和。则有:(x y)^*=x^* y^*(mod 9)

 

　　2的幂模9的余数序列是：2,4,8,7,5,1

　　29 =5 (mod 6)   所以2^29 mod 9 为这个序列的第5个数字，即为5.

　　现在假设不缺任何数字，所有数字的和为0+1+2+..+9=45,45 mod 9=0

　　根据前面的定理2，显然，缺少的数字为4.实际上，2^29=536 870 912.

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　---2012-04-29 10:43:34 华电一校学一424