神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积
很多东西都是吹神了的，其中麦田圈之谜相当引人注目。上个世纪里人们时不时能听见某个农民早晨醒了到麦田地一看立马吓得屁滚尿流的故事。上面这幅图就是97年在英国Silbury山上发现的麦田圈，看上去大致上是一个雪花形状。你或许会觉得这个图形很好看。看了下面的文字后，你会发现这个图形远远不是“好看”可以概括的，它的背后还有很多东西。
在说明什么是分形艺术前，我们先按照下面的方法构造一个图形。看下图，首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。下图是这个图形前五次迭代的过程，可以看到这样的分辨率下已经不能显示出第五次迭代后图形的所有细节了。这样的图形可以用Logo语言很轻松地画出来。
你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的4/3。如果最初的线段长为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了4/3，第二次操作后总长增加到16/9，第n次操作后长度为(4/3)^n。毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。
当把三条这样的曲线头尾相接组成一个封闭图形时，有趣的事情发生了。这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。换句话说，无限长的曲线围住了一块有限的面积。有人可能会问为什么面积是有限的。虽然从上面的图上看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。三条曲线中每一条的第n次迭代前有4^(n-1)个长为(1/3)^(n-1)的线段，迭代后多出的面积为4^(n-1)个边长为(1/3)^n的等边三角形。把4^(n-1)扩大到4^n，再把所有边长为(1/3)^n的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数Σ4^n/9^n显然收敛。这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花，其中那条无限长的曲线就叫做Koch曲线。他是由瑞典数学家Helge von Koch最先提出来的。本文最开头提到的麦田圈图形显然是想描绘Koch雪花。
分形这一课题提出的时间比较晚。Koch曲线于1904年提出，是最早提出的分形图形之一。我们仔细观察一下这条特别的曲线。它有一个很强的特点：你可以把它分成若干部分，每一个部分都和原来一样（只是大小不同）。这样的图形叫做“自相似”图形(self-similar)，它是分形图形(fractal)最主要的特征。自相似往往都和递归、无穷之类的东西联系在一起。比如，自相似图形往往是用递归法构造出来的，可以无限地分解下去。一条Koch曲线中包含有无数大小不同的Koch曲线。你可以对这条曲线的尖端部分不断放大，但你所看到的始终和最开始一样。它的复杂性不随尺度减小而消失。另外值得一提的是，这条曲线是一条连续的，但处处不光滑（不可微）的曲线。曲线上的任何一个点都是尖点。
分形图形有一种特殊的计算维度的方法。我们可以看到，在有限空间内就可以达到无限长的分形曲线似乎已经超越了一维的境界，但说它是二维图形又还不够。Hausdorff维度就是专门用来对付这种分形图形的。简单地说，Hausdorff维度描述分形图形中整个图形的大小与一维大小的关系。比如，正方形是一个分形图形，因为它可以分成四个一模一样的小正方形，每一个小正方形的边长都是原来的1/2。当然，你也可以把正方形分成9个边长为1/3的小正方形。事实上，一个正方形可以分割为a^2个边长为1/a的小正方形。那个指数2就是正方形的维度。矩形、三角形都是一样，给你a^2个同样的形状才能拼成一个边长为a倍的相似形，因此它们都是二维的。我们把这里的“边长”理解为一维上的长度，那个1/a则是两个相似形的相似比。如果一个自相似形包含自身N份，每一份的一维大小都是原来的1/s，则这个相似形的Hausdorff维度为log(N)/log(s)。一个立方体可以分成8份，每一份的一维长度都是原来的一半，因此立方体的维度为log(8)/log(2)=3。同样地，一个Koch曲线包含四个小Koch曲线，大小两个Koch曲线的相似比为1/3，因此Koch曲线的Hausdorff维度为log(4)/log(3)。它约等于1.26，是一个介于1和2之间的实数。
（Koch曲线的每一部分都由4个跟它自身比例为1:3的形状相同的小曲线组成，那么它的豪斯多夫维数(分维数)为d=log(4)/log(3) =1.26185950714...）
我们常说分形图形是一门艺术。把不同大小的Koch雪花拼接起来可以得到很多美丽的图形。如果有MM看了前面的文字一句也不懂，下面这些图片或许会让你眼前一亮。
放图前留下一句话：
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这就是那个传说中的“雪花”啊…
楼层: 地毯 | 2007-07-07 12:52 |
cosechy 说：这东西和在pi的位置的直线的交点在哪？
楼层: 地基 | 2007-08-02 17:46 | arthas 说：
这个也有研究的....类似的，海岸线也是分形图形吧
回复：嗯，有这种说法
楼层: 10楼 | 2008-07-15 14:33 | XeCycle 说：
反常积分说的也是这么回事吧……
楼层: 12楼 | 2008-08-10 12:57 | kicd 说：
无限长曲线保住有限的距离，跟级数类比
楼层: 12a楼 | 2008-09-10 7:45 | Matrix67: My Blog » Blog Archive » 数学思维游戏两则：Gabriel喇叭、世界末日论说：
[...] 数学上的不少悖论（特别是涉及到维度和无穷的悖论）都是相当有趣的思维实验。Gabriel喇叭是y=1/x在[1,+∞)上的图形沿x轴旋转所形成的旋转体。这个简单的三维图形有一个奇特的性质：它的表面积无穷大，却只有有限的体积。为了证实这一点，只需注意到： Gabriel喇叭会导出一个非常诡异的悖论：如果你想用涂料把Gabriel喇叭的表面刷一遍，你需要无穷多的涂料；然而把涂料倒进Gabriel喇叭填满整个内部空间，所需要的涂料反而是有限的。 有网友一定会问，那有没有什么二维图形，面积有限大，周长却无限长呢？答案是肯定的，Koch雪花就是这样一个经典的例子。 [...]
楼层: 17楼 | 2008-12-09 16:17 | 瞎说 说：
社会A点，你B点。产生直线AB。社会说，这样不行，你总盯着我，我怎么能从你那里得到更多东西，并让你察觉不到？好吧，在A点、B点之间增加一个C点（妻子或丈夫）。
这样，社会就可以很隐蔽的从你这里得到你曾经非常不愿意付出的东西。但，你会认为，你把这些多出来的给了C点（C点也以为给了B点），实际，还是给了A点。
最具戏剧性的是：BC两点形成的直线BC，又使两点形成对立和支出敏感，这时，社会说，你们可以学我啊。事实上，BC两点也是这么想的。直线BC之间增加了D点（子女），循环产生。
人类社会也可以这样来描述，当然，这是看到你文中的论述，我依据社会学方式进行了相应解释。
同时，依据经济学中的行为学和心理学方面的分析，你很聪明的弥补了自身缺点。在理科们的表述劣势A点和文科们逻辑劣势B点之间 ，你形成了优势C点。（当然，无聊的文字工作者们把这称之为：跨学科）。
优点是效率很高，缺点是，仅限于讲道理阶段。最终无法在学术上有什么成就，但很适合产生大众消费品。商业将会是你今后的可能，但，这要看你的产品供应与市场需求了。而这个经济规律又将会逐步降低你的竞争优势，比如：你的论述会越来越缺少理性，而偏向了娱乐性。更具娱乐性和想象力的竞争者会大幅增加，最终你所处的市场份额增大，你的收益曲线下降。：）
楼层: 18楼 | 2008-12-26 5:30 | 兰斯洛 说：
分形是混沌的几何表达吧？
喜欢你的空间，不错，继续努力！
楼层: 20楼 | 2009-08-30 3:24 | Matrix67: My Blog » Blog Archive » 寻找1/5 + 1/25 + 1/125 + .. = 1/4的图形证明说：
[...] 思考问题时要善于用想象来替代放弃。二维空间中可以证明Σ(1/4)^n=1/3。类似地，一维空间中还可以轻易证明Σ(1/2)^n=1。要是有一个什么东西是log(5)/log(2)维的就好了——这样的话，对应边扩大到原来的2倍，“面积”就会变成原来的2^(log(5)/log(2))倍，也就是5倍。这就是说，在log(5)/log(2)维的“空间”里，一个“图形”恰好可以包含5个与自身相似的“图形”，并且新的“边长”正好能整除原来的“边长”。看到这里有人会哈哈大笑起来——这种维度会有吗？ 有。很多分形图形都有一些极其怪异的性质，相似比的变化和其所占空间的变化不成整次幂的关系。例如，大名鼎鼎的分形图形Sierpinski三角形就是这样——相似比为1/2，所占空间之比为1/3。一个图形有二维图形的样子，却没有二维图形的性质。Hausdorff维度就是专门用来处理这类问题的。我们常常用Hausdorff维度来描述一个分形图形，比如Sierpinski三角形的Hausdorff维度就是log(3)/log(2)——所占面积变为原来的三倍时，对应边变为原来的两倍。 [...]
楼层: 21楼 | 2009-12-15 19:17 | kzzk 说：
好像到目前为止 分形仅仅从艺术的角度研究 没有用于科学研究 研究宇宙物质的本源
楼层: 22楼 | 2010-05-26 16:35 | lynn 说：
那么Koch曲线的生成元如何写出？谢谢
楼层: 23楼 | 2011-09-02 1:43 | Matrix67.com三周年精选回顾 - 紅吞吞说：
[...] 数论部分第一节：素数与素性测试17. 神奇的分形艺术（一）：无限长的曲线可能围住一块有限的面积分形艺术系列的开篇。分形这个东西其实挺好玩的。18. [...]