B-树、B+树与B*树
1.B-树
B-树是一颗 m 阶的平衡树(Balance)，其通常应用于文件索引系统的实现。一颗 m 阶的 B- 树需要满足如下条件：
- 树中每个节点最多含有 m 个孩子
- 除根节点和叶子节点之外，其它每个节点至少有 \(\lceil m/2 \rceil\) 个孩子
- 除根节点之外的节点的关键字的个数 n 必须满足：\(\lceil m/2-1 \rceil\leq n \leq m-1\)，叶子节点也必须满足此条关于关键字数的性质
其中，\(\lceil x \rceil\) 表示向上取整
1.1 插入操作
对于 B- 树的插入操作而言：
- 如果叶子节点空间足够，即该节点的关键字数小于 m-1，则直接插入在叶子结点的左边或右边；
- 如果空间满了以致于没有足够的空间去添加新的元素，即该节点的关键字数已经有 m 个了，则需要将该节点进行“分裂”，即将一半数量的关键字元素分裂到新的其相邻的右节点中，中间关键字元素上移到父节点中，而且当节点中关键元素向右移动了，相关的指针也需要向右移动；
- 此外，如果在上述中间关键字上移到父节点的过程中，导致根节点空间满了，那么根节点也要进行分裂操作，这样原来的根节点中的中间关键字元素向上移动到新的根节点中，因此导致树的高度增加一层；
比如，对于一颗 5 阶的 B- 树，根据 B- 树的性质可知，非根节点关键字的个数 n 需满足 \(2\leq n\leq 4\)，每个节点最多含有 5 个孩子，除了根节点叶子节点之外，其它节点至少有 3 个孩子。
如下图所示，对于一颗空的 5 阶 B- 树，依次插入字符：C、N、G、A，所得到的结构如下：
然后继续插入字符 H，由于此时当前 B- 树的根节点的关键字个数已经达到最大，那么此时需要进行节点分裂，由于 A、C、G、H、N 中字符 G 是中间关键字元素，因此将其上移到父结点中，所形成的结构如下所示：
现在继续插入字符 E、K、Q，所得到的 B- 树如下：
继续插入字符 M，按照搜索树的性质，其会进入右子树中，但是此时，根节点的右孩子上的关键字元素已经是 4 个了，无法再继续插入，所以此时需要进行节点分裂，由于 H、K、M、N、Q 中关键字元素 M 为中间元素，因此将其上移到父节点中，所得到的结构如下：
继续插入字符 F、W、L、T，所得到的结构如下：
继续插入字符 Z，按照搜索树的性质，该字符会插入到 N、Q、T、W 所在的节点中，但是该节点已经拥有 4 个元素，所以此时需要进行节点分裂，由于 N、Q、T、W、Z 中元素 T 为中间元素，因此将其上移到父节点中，所得到的结构如下：
继续插入字符 D、P、R、X、Y，此时，A、C、E、F 节点需要进行分裂，将元素 D 上移到根节点中，所形成的结构如下：
最后，插入字符 S，那么需要分裂节点 N、P、Q、R，将字符 Q 上移到根节点中，但是由于此时根节点已经有 4 个元素了，那么需要对根节点进行分裂，将字符 M 上移形成新的根节点，B- 树的层数增加一层：
1.2 删除操作
对于 B- 树的删除操作而言，首先需要查找 B- 树中要删除的元素，如果元素存在，则进行删除，删除该元素后，需要判断该元素是否有左右孩子节点：
- 如果有，则上移孩子节点中的相邻元素（左孩子中最右边的节点或者右孩子中最左边的节点）到父节点中去；
- 如果没有，则直接进行删除；
删除元素并进行元素的移动之后，如果节点关键字的数目不满足条件，即其小于 \(\lceil m/2-1\rceil\)，那么此时就需要查看其相邻的兄弟节点是否丰满，即兄弟节点的关键字数目是否大于 \(\lceil m/2-1 \rceil\)：
- 如果丰满，则向父节点借一个元素来满足；
- 如果其相邻兄弟节点都不丰满，则该节点与其相邻的某一兄弟进行进行 “合并” 成为一个节点，以此来满足条件；
例如，对于插入操作最终所形成的 B- 树，删除其中的 H 节点，由于所删除的 H 节点没有孩子节点，因此直接删除即可，且删除后也满足 B- 树的特点，删除后的结构如下：
然后删除字符 T，由于字符 T 存在孩子元素，因此上移孩子节点中的相邻元素，如果上移 S 元素，那么 R、S 节点就会剩下一个元素，不满足 B- 树的性质，因此，上移 W 元素，所形成的结构如下：
然后删除元素 R，由于其不存在孩子节点，所以直接删除即可。但是删除后，R、S 节点就只剩下一个元素了，不满足 B- 树的性质，此时查看其相邻的兄弟节点是否丰满，由于左侧的 N、P 节点并不丰满，而右侧的 X、Y、Z 节点丰满，因此向父节点借来元素 W，然后让元素 X 补入到父节点中，所形成的结构如下：
最后，删除元素 E，由于其不存在孩子节点，所以直接删除即可，删除后节点 E、F 不满足 B- 树的性质，因此需要向临近的兄弟节点借元素，但是左右两侧的兄弟节点都不丰满，因此其需要和相邻的兄弟节点合并成为一个节点，合并后的结构如下：
但是可以看到，此时的节点 G 也不满足 B- 树的性质，且其兄弟节点也不丰满，因此，需要和相邻的兄弟节点合并成为一个节点，合并后的结构如下：
1.3 B-树的优势
B- 树通常应用于文件索引系统，例如数据库索引的使用。由于磁盘上的数据量非常大，无法一次性加载到内存中，因此需要事先给数据创建索引，给数据进行排序，加快数据搜索的速度，为此需要解决如下两个问题：
- 更少的磁盘 I/O；
- 更快的搜索算法；
比如，现在有 1000 0000 条索引需要从磁盘中读取并且进行搜索。如果采用 AVL 树，那么所形成的树的高度为 \(log_2n\approx 24\)，也就是说，使用 AVL 树最多需要进行 24 次磁盘 I/O；如果采用 300 阶的 B- 树，那么所形成的树的高度为 \(log_{300}n\approx 3\)，也就是说，使用 B- 树最多只需要 3 次磁盘 I/O 即可。
B- 树的高度就表示着需要花费的磁盘 I/O 次数，在节点内部查找目标元素时，也是使用二分搜索算法来进行查找的。
2.B+树
对于 B+ 树而言，它是 B- 树的一种变体形式，对于一颗 m 阶的 B- 树和 B+ 树，其区别如下：
- B- 树的每一个节点，存储了关键字和对应的数据地址，而 B+ 树的非叶子节点只存放关键字，不存放数据地址。因此 B+ 树的每一个非叶子节点存储的关键字是远多于 B- 树的，B+ 树的叶子节点存放关键字和数据，因此，从树的高度上来说，B+ 树的高度要小于 B- 树，使用的磁盘 I/O 次数较少，因此查询更快一些。
- B- 树由于每个节点都存储关键字和数据，因此距离根节点较近的数据，查询的就快，距离根节点较远的数据查的就慢；而 B+ 树所有的数据都在叶子节点上，因此在 B+ 树上搜索关键字，找寻对应数据的时间是比较平均的，没有快慢之分。
- 在 B- 树上如果做区间查找，遍历的节点是非常多的；而 B+ 树所有叶子节点都被连接成了有序的链表结构，因此做整表遍历和区间查找是非常容易的。
如下图所示，为一颗 B- 树的结构：
如下图所示，为一颗 B+ 树的结构：
B+ 树相比于 B- 树更适合操作系统的文件索引和数据库索引的原因如下：B+ 树的磁盘读写代价更低，B+ 树的内部节点没有指向关键字具体信息的指针，因此内部节点相比 B- 树更小。如果把所有同一内部节点的关键字放在同一块磁盘中，盘块所能容纳的关键字数量也就越多，一次性读入内存中的需要查找的关键字也就越多，相对 IO 读写次数也就降低了。其次，B+ 树的查询效率更加稳定，由于非终节点并不是最终指向文件内容的节点，而只是叶子节点中关键字的索引，所以任何关键字的查找都必须走一条从根节点到叶子节点的路。所有关键字的查询路径长度相同，导致每一个数据的查询效率都相同。
比如说，假设磁盘中的一个盘块容纳 16Bytes，而一个关键字需要 2Bytes，一个关键字具体信息的指针需要 2Bytes。那么一颗 9 阶的 B- 树的内部节点需要 2 个盘块，而 B+ 树的内部节点只需要 1 个盘块即可。当需要把内部节点读入内存中的时候，B- 树就比 B+ 树多一次盘块的查找时间（即磁盘中的盘片旋转时间）。
3.B*树
B* 树是 B+ 树的变体，在 B+ 树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟节点的指针，其结构如下图所示：
B* 树定义了非叶子节点关键字的个数至少为 \((2/3)*M\)，即块的最低使用率为 \(2/3\)，取代了 B+ 树的 \(1/2\)，其原因在于节点分裂的过程：
- B+树的分裂：当一个节点的关键字数量达到上限时，需要分配一个新的节点，并将原节点中的 \(1/2\) 数据复制到新的节点中，最后在父节点中增加新节点的指针，可见，B+ 树的分裂只会影响原节点和父节点，而不会影响兄弟节点，所以它不需要指向兄弟的指针；
- B*树的分裂：当一个节点的关键字数量达到上限时，如果它的下一个兄弟节点未满，那么将一部分数据转移到兄弟节点当中，再在原节点中插入关键字，最后修改父节点中兄弟节点的关键字，因为兄弟节点的关键字范围改变了；如果兄弟也满了，则在原节点和兄弟节点之间增加新的节点，并各复制 \(1/3\) 的数据到新的节点中，最后在父节点中增加新节点的指针；
所以，B* 树分配新节点的概率要低于 B+ 树，空间的使用率更高，其在 B+ 树的基础上，为非叶子节点也增加了链表指针，将节点的最低利用率从 \(1/2\) 提高到了 \(2/3\)。
