【递推】BZOJ 3930: [CQOI2015]选数

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Description

　　我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。

Input

　　输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。

Output

　　输出一个整数，为所求方案数。

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　　这道题有两种做法- -

　　1.递推

　　我们先设在一段区间[l,r]间选择n个元素，且它们的gcd为k*i的选择方案是f[i]。

　　显然，[l,r]内能被k*i整除的数有(R-L+1)^n个(R=r/(i*k),L=l/(i*k))。但是，有一些选择是这种(L,L,L,L,L,L,...L)，一共有(R-L+1)种，同时还有最大公约数是k*i的倍数的，我们也要减去。

　　得到f[i]=(R-L+1)^n-(R-L+1)-f[k*i*a](a>=2 && k*i*a<=L-R+1)。

　　输出f[1]即可。

　　但是还有特殊情况。就是k在[l,r]间，所以这时f[1]++即可。

　　2.mobius反演

　　公式还是蛮容易的。。

　　mobius公式推导:http://lzy-foenix.gitcafe.io/2015/04/09/BZOJ-3930-CQOI2015-%E9%80%89%E6%95%B0/

　　关于阀值与μ的推导：http://www.cnblogs.com/Asm-Definer/p/4434601.html

　　PoPoQQQ的两者结合:http://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/44917831(画质感人- -)

　　My Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

#define mod 1000000007

#define maxn 100000

using namespace std;

long long f[maxn+1];

long long qvod(long long x,long long k)
{
    long long ans=1;
    while(k!=0)
    {
        if(k&1)ans=ans*x%mod;
        x=x*x%mod;
        k>>=1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    int a,b,k,n;
    scanf("%d%d%d%d",&n,&k,&a,&b);
    int l=a/k,r=b/k;
    if(a%k)l++;
    for(int i=maxn;i>=1;i--)
    {
        int L=l/i,R=r/i;
        if(l%i)L++;
        if(l<=r)
        {
            f[i]=qvod(R-L+1,n);
            f[i]=(f[i]-(R-L+1)+mod)%mod;
            for(int j=i*2;j<=maxn;j+=i)f[i]=(f[i]-f[j]+mod)%mod;
        }
    }
    if(l==1)f[1]++;
    printf("%lld",(f[1]+mod)%mod);
    return 0;
}

 

　　忽视奇怪的快速幂