拟阵学习笔记
拟阵学习总结
By Tuifei_oier
Part 1 定义
首先给出一些基本的定义：
一、子集系统
给定二元组 \(M=(S,I)\)，若满足以下条件：
- \(S\) 为一个有限集。
- \(I\) 为一个元素为 \(S\) 的子集的有限非空集，空集属于 \(I\)。
- \(\forall A\in I,B\subseteq A\) 满足 \(B\in I\)。
则称 \(M\) 为一个子集系统。
其中，第三条性质一般称为遗传性。
特别地，称 \(I\) 中元素为独立集。
称一个集合 \(A\) 为极大独立集，当且仅当 \(\forall x,A\cup\{x\}\notin I\)，也称极大独立集为基。
定义秩函数 \(r(U)\) 为 \(U\) 中最大独立集的大小，事实上，通过秩函数的性质，我们可以反过来推导出原子集系统的性质，例如：证明其为一个拟阵。
二、拟阵
给定一个子集系统 \(M=(S,L)\)，若满足：
\(\forall A\in L,B\in L,|A|<|B|,\exist\;x\in B-A\)，满足 \(A\cup\{x\}\in L\)。
则称 \(M\) 为一个拟阵。
其中，该性质一般称为交换性。
三、对偶拟阵
称 \(M^*\) 为 \(M=(S,I)\) 的对偶拟阵，即 \(M^*=(S,I^*)\)，其中 \(I^*=\{x:\) 存在 \(M\) 中的一个极大独立集 \(A\subseteq S\backslash x\}\)。
以及，我们可以定义一系列拟阵的运算：
- 删除：对于 \(M=(S,I),Z\subseteq S\)，定义 \(M\backslash Z\) 为 \(M\) 删除子集 \(Z\) 的拟阵，即 \(M\backslash Z=(S\backslash Z,I')\)，其中 \(I'\) 的定义与 \(I\) 类似，实质是把原来的 \(S\) 变为 \(S\backslash Z\)，其他的定义不变。
- 收缩：对于 \(M=(S,I),Z\subseteq S\)，定义 \(M/Z\) 为 \(M\) 关于子集 \(Z\) 收缩后的拟阵，即 \(M/Z=(M^*\backslash Z)^*\)，可以证明收缩的意义为 \(M/Z\) 的任意一个独立集并上 \(Z\) 中的任意一个独立集后仍然是原 \(M\) 中的一个独立集，可以利用秩函数来研究它。
事实上，这两个运算一般用于证明拟阵。
Part 2 性质
拟阵有一些优美的性质：
- 次模性：\(r(A\cup B)+r(A\cap B)\le r(A)+r(B)\)。
- 拟阵 \(M=(S,I)\) 中 \(I\) 中的所有极大独立集大小相等。
当然，并不止这些，它最适用于我们的性质将在下文提到。
一些经典的拟阵：
-
均匀拟阵 \(U^k_n=(S,I)\)，其中 \(|S|=n,I=\{x\subseteq S:|x|\le k\}\)，不难证明这是一个拟阵。
-
图拟阵：对于无向图 \(G=(V,E)\)，令 \(M=(E,I),I=\{x\subseteq E:x\) 无环 \(\}\)，则 \(M\) 为拟阵，证明如下：
- 遗传性证明显然；
- 对于交换性，由 \(|A|<|B|\) 知 \(A\) 连成的连通块数量大于 \(B\)，因此一定存在一个 \(A\) 中不连通而 \(B\) 中连通的块，加入该边即可。
需要注意的是，对于有向图是不成立的。
-
匹配拟阵：对于无向图 \(G=(V,E)\)，匹配拟阵 \(M=(V,I),I=\{x\subseteq V:x\) 中所有点可被至少一个匹配完全覆盖 \(\}\)，证明略去。
-
连通拟阵：对于无向图 \(G=(V,E)\)，考虑删边角度，连通拟阵 \(M=(E,I),I=\{x:\) 删除 \(x\) 中边后图连通 \(\}\)，不难证明其为拟阵（类似图拟阵）。事实上，连通拟阵就是图拟阵的对偶拟阵。
Part 3 OI 应用
在 OI 中，拟阵目前有两种常用用法：
一、拟阵与贪心
对于拟阵 \(M=(S,I)\)，给定一个函数 \(w:S\rightarrow N^*\)，定义 \(S\) 一个子集的权值 \(w(x)=\sum_{e\in x}w(e)\)，拟阵的最优化问题即找一个最大的 \(w(x)\) 满足 \(x\in I\)。
如果可以证明一个组合优化问题本质是拟阵的最优化问题，就可以套用下面的贪心算法来求解：
- 将 \(S\) 中元素 \(e\) 按 \(w(e)\) 从大到小排序。
- 维护集合 \(A\)，初始为空集， 依次考虑每个 \(e\)，如果 \(A\cup\{e\}\in I\)，则 \(A\gets A\cup\{e\}\)，最后答案即为 \(w(A)\)。
证明略过，读者自证（查资料）不难。
以下是一些可以被证明等价于拟阵最优化问题的问题：
- 最小/大生成树。
- 二分图匹配。
只要构造出拟阵，问题就可以被大大简化了。
二、拟阵交
首先定义拟阵交。
对于两个拟阵 \(M_1=(S,I_1),M_2=(S,I_2)\)，称集合 \(A=\{x:x\in I_1\) 且 \(x\in I_2\}\) 为拟阵 \(M_1,M_2\) 的交。
此时，我们就有两种最优化问题：
- 求 \(A\) 中的最大独立集。
- 定义函数 \(w:S\rightarrow N^*\)，求 \(A\) 中权值最大的独立集的权值。
对于两种问题，我们有一个相同的算法来求解，先介绍求 \(A\) 种最大独立集的算法。
-
初始有一个集合 \(A=\emptyset\)。
-
每次将属于 \(A\) 的元素放在左部点，将属于 \(S\backslash A\) 的元素放在右部点，同时新建起点 \(s\) 和终点 \(t\)，按以下方式连边：
a. 对于右部点 \(y\)，如果满足 \(A\cup\{y\}\in I_1\)，由 \(s\) 向 \(y\) 连边；如果满足 \(A\cup\{y\}\in I_2\)，由 \(y\) 向 \(t\) 连边。
b. 对于左部点 \(x\) 和右部点 \(y\)，如果满足 \(A\backslash\{x\}\cup\{y\}\in I_2\)，由 \(y\) 向 \(x\) 连边；如果满足 \(A\backslash\{x\}\cup\{y\}\in I_1\)，由 \(x\) 向 \(y\) 连边。
-
之后，每次找一条从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路，将该路径上原本属于 \(A\) 的元素从 \(A\) 中删除，不属于 \(A\) 的元素加入 \(A\)（称该操作为增广），然后重新建图，直至不存在最短路。
-
此时 \(A\) 即为拟阵交中的一个最大独立集。
算法的正确性在此略去证明，大致可以发现每次增广后 \(|A|\) 恰好 \(+1\)。
设 \(r=max(r_1(S),r_2(S)),n=|S|\)，则增广次数不超过 \(r\)，每次增广的复杂度为 \(O(rn)\)，于是复杂度为 \(O(r^2n)\)。
对于第二个问题，我们使用与上文类似的算法：每个节点赋点权，左部点的权值为 \(-w(e)\)，右部点的权值为 \(w(e)\)，然后将找 \(s\) 到 \(t\) 的最短路改为找 \(s\) 到 \(t\) 的最大点权路径，在此基础上尽可能短即可，此时由于存在负点权，使用 spfa，时间复杂度为 \(O(r^2n^2)\)（当然也可以是 \(O(r^2nk)\)，虽然但是，\(k=n\)）。
事实上可以证明，每次增广后的 \(A\) 都是大小为 \(|A|\) 时的一个最优解。
Part 4 例题
Pro A Rainbow Graph
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每条边有三种颜色 R,G,B 之一，同时带有边权 \(w_i\)，选择恰好 \(k\) 条边使得分别保留选出边中颜色为 R,G 的边和颜色为 G,B 的边时，都使得所有点连通，同时选出的 \(k\) 条边的边权和最小，对于 \([1,m]\) 每一个 \(k\) 求出最小权值和。
\(tips:1\le n,m\le100,1\le w_i\le1000\)。
Pro B Colorful Graph
给定一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图，每条边有两个属性：\(w_i\) 表示边权，\(c_i\) 表示颜色。
选出一个边集，满足：
- 该边集连通所有点；
- 每种颜色在边集中至少出现一次；
求最小的边集权值和。
\(tips:1\le n\le m\le200,1\le c_i\le m,1\le w_i\le10^9\)。
Pro C 二分图匹配
给定二分图 \(G=(V,E)\)，其中 \(V=V_1+V_2\)，求最大匹配。
Part 5 例题题解
Pro A
设 R,G,B 颜色边集分别为 \(E_R,E_G,E_B\)，则构造连通拟阵 \(M_1=(E_R+E_G,I),M_2=(E_G+E_B,I)\)，然后带权拟阵交即可，由于每次增广后当前 \(A\) 都是大小为 \(|A|\) 时的一个最优解，直接将当前的 \(w(A)\) 作为 \(Ans_{m-|A|}\) 即可。
时间复杂度 \(O(r^2n^2)\)。
Pro B
构造拟阵 \(M_1\) 为连通拟阵，\(M_2=(E,I),I=\{x:\) 每种颜色在 \(x\) 中都没有全部出现 \(\}\)，则直接求带权拟阵交即可。
Pro C
考虑构造 \(M_1=\{E,I_1\},I_1=\{x:V_1\) 中所有点在图 \((V,x)\) 中度数 \(\le1\}\)，类似定义 \(M_2\)，然后最大拟阵交即可。
Part 6 后记
咕了。
