codeforces 1467 D. Sum of Paths (dp)

题目链接：https://codeforces.com/contest/1467/problem/D

题目大意：

定义一条好的路径，当且仅当从任意点出发之后恰好经过了 \(k\) 次移动，定义这条路径的权值为经过点权值的总和(可重)，进行 \(q\) 次修改，每次将\(a_k\) 改为 \(x\) ,询问此时所有‘好’路径的权值总和.

题解：

考虑每个格子的贡献，设 \(f[i][j]\) 表示第 \(j\) 步走到第 \(i\) 个格子的方案数，\(g[i][j]\) 表示当前是第 \(i\) 步，在第 \(j\) 个格子，可以走出多少个不同的路径
转移十分显然：

\[f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1] \]

\[g[i][j] = g[i+1][j-1] + g[i+1][j+1] \]

那么第 \(i\) 个格子对答案的贡献就是

\[a_i* \sum_{j=0}^kf[j][i]*g[j][i] \]

修改操作每次在上一次的答案一减一增即可

时间复杂度 \(O(n^2 + q)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int maxn = 5010;
const int M = 1000000007;

int n, k, q;
int a[maxn];
int f[maxn][maxn], g[maxn][maxn];
int c[maxn];

ll read(){ ll s = 0, f = 1; char ch = getchar(); while(ch < '0' || ch > '9'){ if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); } while(ch >= '0' && ch <= '9'){ s = s * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); } return s * f; }

int main(){
	n = read(), k = read(), q = read();
	
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) a[i] = read();
	 
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) f[0][i] = 1, g[k][i] = 1;
	for(int i = 1 ; i <= k ; ++i){
		for(int j = 1 ; j <= n ; ++j){
			f[i][j] = (f[i - 1][j - 1] + f[i - 1][j + 1]) % M;
		}
	}
	
	for(int i = k - 1 ; i >= 0 ; --i){
		for(int j = 1 ; j <= n ; ++j){
			g[i][j] = (g[i + 1][j - 1] + g[i + 1][j + 1]) % M;
		} 
	} 
	
	for(int i = 0 ; i <= k ; ++i){
		for(int j = 1 ; j <= n ; ++j){
			c[j] = (c[j] + 1ll * f[i][j] * g[i][j] % M) % M;
		}
	} 
	
	int ans = 0;
	for(int i = 1 ; i <= n ; ++i) ans = (ans + 1ll * c[i] * a[i] % M) % M;
	
	int x, y;
	for(int i = 1 ; i <= q ; ++i){
		x = read(), y = read();
		ans = ((ans - 1ll * a[x] * c[x] % M) % M + M) % M;
		a[x] = y;
		ans = (ans + 1ll * a[x] * c[x] % M) % M;
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}