CF198C （题号好像错了） 排列小trick

有一个长度为n的排列a，其中有一些位置被替换成了−1。你需要尝试恢 复这个排列，将−1替换回数字。 求有多少种可行的替换方法，满足得到的是一个排列，且不存在ai = i的 位置。n ≤ 2000。

 

对于一个排列，可以用一个n*n的方阵来表示，第i行第j列如果被标记，则代表数字 i填在了第j个位置（aj = i）

对于给定的排列，不为−1的位置已经被 标记在棋盘上，而棋盘的主对角线上（ai = i）不可以被标记

从棋盘中删去不为−1的位置的列，以及已经出现了的数字的行，记此时棋盘大小为N

不难发现，每列不可被标记的位置至多只有1个，每行也是同样，记这种位置的数量为M

令f[N,M]表示，在这样的棋盘上标记N个格子的方案数

转移方程为：f[n,m] = f[n,m − 1] − f[n − 1,m − 1]  边界为f[i,0] = i!

转移方程的含义为，相比起f[n,m − 1]的状态，f[n,m]的状态要多一个不 可标记的位置，而标记了这个位置的方案数为f[n − 1,m − 1]（有一行一列已经被占用），因此从中减去。