数论专题

一  同余

　　同余不满足同除性

　　所以在模P意义下的除法要用到乘法逆元（费马小定理，exgcd）

 

　　费马小定理：如果 a,p 互质，那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

例： 求 m^n%k (m,n,k均为长整型范围内自然数)

　　将 n 二进制分解，放在数组 r 中，r[i]=1 表示有 m^i 这一项，用递推从小到大求出 m^i%k 的值存到数组 d 中

二  扩展欧几里得(exgcd)

　　对于线性方程 ax+by=c ，有解的充要条件是 c%GCD(a,b)=0 (裴蜀定理)

　　先求出 ax+by=GCD(a,b) 的以租借 x0,y0 ，再乘 c/GCD(a,b) ，最小整数解 x=(x0*c/GCD(a,b)%b+b)%b

　　通解为x=x0+k∗b,y=y0+k∗a

　　

　　求最大公因数：辗转相除法  gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

　　最小公倍数：lcm(a,b) = a*b/gcd(a,b)

例题：洛谷P1290 (博弈论)  辗转相除法的应用

三  唯一分解定理

　　A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*(p4^k4)....*(pn^kn)  pi 均为素数

　　从第一个素数开始不断取模，A%2=0时，cnt[2]++ , A/=2;   A%2≠0时，则A对下一个素数3不断取模，以此类推直到 A=1 为止

四  约数和公式

　　对于 A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*(p4^k4)....*(pn^kn)

　　有 A 的所有因子之和为：

　　S=(1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^k1)*(1+p2+p2^2+p2^3+...+p2^k2)*...*(1+pn+pn^2+pn^3+...+pn^kn)

　　求法: 

　　1. 递归二分求等比数列 1+p1+p1^2+p1^3+...+p1^n