吴昊品游戏核心算法 Round 17 —— M*N PUZZLE 与 N PUZZLE 的解的唯一性定理（由特殊到一般）
如图所示，这是一个8*5数码的问题，当然，用之前的范式就不好办了。但是，之前也有说明十五数码的唯一解定理，由此，我们可以提出N数码问题的唯一解。
N数码问题的唯一解
逆序对？空白（blank）起始时所在的点的行距距离目标点的欧几里得距离（dis）？这是在N*N-1数码问题中当N为偶数的时候能成立，当N为奇数的 时候，条件需要更弱一些，也就是说，当N为奇数的时候，在逆序和保持奇偶性相同的情况下，就能保证问题是唯一可解的。基于这一点（定理的证明可以详见相关 资料，或者按照15数码解的存在性定理的证明方法给出证明），这里给出判定N数码问题是否有唯一解的判定程序（HDOJ 3600）：
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3 #include<algorithm>
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5 //利用string库来读入一个谜题
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7 #include<string>
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9 using namespace std;
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13 //假设问题的规模（N的最大值不超过300）
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15 const int N=300+10;
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19 int s[N*N],g[N*N];
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23 //利用宏定义一个函数
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25 #define _cp(a,b) ((a)<=(b))
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29 int _tmp[N*N];
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33 //考察这个问题对应的所有状态的逆序数之和
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35 int solve(int n,int *a)
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37 {
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39 int l=n>>1;
40
41 int i,j,r=n-1;
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43 //如下是求两个状态逆序对的差值，不过，这段代码确实有些乱，暂时没有弄明白
44
45 int ret=(r>1 ? (solve(l,a)+solve(r,a+l)):0);
46
47 for(i=j=0;i<=l;_tmp[i+j]=a[i],i++)
48
49 {
50
51 for(ret+=j;j<r&&(i==l||!_cp(a[i],a[l+j]));_tmp[i+j]=a[l+j],j++);
52
53 }
54
55 memcpy(a,_tmp,sizeof(int)*n);
56
57 return ret;
58
59 }
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61
62
63 int main()
64
65 {
66
67 int n;
68
69 //每次读入一个问题前，先读入问题的规模
70
71 while(scanf("%d",&n)==1&&n)
72
73 {
74
75 int num=0;
76
77 bool flag=true;
78
79 //读入整个问题
80
81 for(int i=0;i<n*n;i++)
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83 {
84
85 scanf("%d",&g[i]);
86
87 //这里可以找到那个空白方块的位置
88
89 if(flag&&g[i]!=0) num++;
90
91 if(g[i]==0) flag=false;
92
93 }
94
95 int temp=solve(n*n,g);
96
97 //不考虑空白位置的逆序数
98
99 temp-=num;
100
101 //如果n为偶数的话，需要加上空格所在的行距离目标空格的行的dis距离
102
103 if(!(n&1))
104
105 {
106
107 temp+=(n-1-(num/n));
108
109 }
110
111 //如果奇偶相异，则不可达，否则，为可达
112
113 if(temp&1) puts("NO");
114
115 else puts("YES");
116
117 }
118
119 return 0;
120
121 }
N*M问题的唯一解
在POJ的2893中，原问题被更进一步地扩展，但是，原理还是相同的，而且，我们可以得到更为本质化的结论：当N为完全平方模型的时候，似乎是由N来决 定原理的，而实际上，如果问题被延拓为N*M，我们可以发现，一个更为本质的结论，原问题的可解性实际上是由列数M来判定的，这样，由特殊推广到了一般， 证明如下（这里我们可以看出，行和列都起到了一定的作用，列的作用确定了空白方块是否要考虑，而在空白方块的位置需要考虑的情况下，行的作用又让它必须了解到底要增加多少（也就是行增量，欧几里得距离））：
假设这个矩阵有3列，且逆序对总数设为N（这里不失一般性地假设a1<a2）
（1）首先，对于可左右移动的数字，它左右移动是不会对逆序对总数产生影响；
（2）若数字a0上下移动的话会移到它之前或之后的两个数字的位置，假设是向上移动，且这两个数字为a1，a2：(3个数字肯定是不同数字)
若a0 < a1 < a2，则新的逆序对总数为N-2，
若a1 < a0 < a2, 则新的逆序对总数为N - 1 + 1 = N，
若a1 < a2 < a0, 则新的逆序对总数为N+2，
由此可见，数字的移动是不影响矩阵逆序对总数的奇偶性的，推广到列数为奇数的情况也是一样。那么若判定初始矩阵与目标矩阵的逆序对总数是否相同，即可判定问题是否可解，若同则可解，否则不可解。
若列数为偶数的话，数字左右移动同理不影响，但是上下移动一次会改变一次逆序对总数的奇偶性，所以对于这种情况，我们可以计算初始矩阵0的位置到目标矩阵 0的位置的差值 S ，这样可以判定奇偶性被如何改变了。由于0最终是要到目标位置的，所以无论0在工程中如何移动，逆序对的奇偶性只和S有关。那有些人可能会想，我们怎么只 考虑0的上下移动，不考虑其他数字的上下移动，我们可以这样想，无论那个数字要移动都是要和0交换位置，也就是说无论那个数字的移动都是0的移动，所以在 这里我们就只分析0的上下移动即可。
这里可以采用归并排序来解决逆序对的问题，代码如下（这里换一种方法，利用归并排序来求逆序对的总数之和）：
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5 using namespace std;
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9 #define MAXN 1000005
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13 int cnt;
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15 int a[MAXN],c[MAXN];
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19 //利用归并排序来求逆序数
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21 void MergeSort(int l,int r)
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23 {
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25 int mid,i,j,tmp;
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27 //直到左右缝合为止
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29 if(r>l+1)
30
31 {
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33 mid=(l+r)/2;
34
35 MergeSort(l,mid);
36
37 MergeSort(mid,r);
38
39 tmp=l;
40
41 //找到所有的逆序对，这一段也暂时不是很明白
42
43 for(i=l,j=mid;i<mid&&j<r;)
44
45 {
46
47 if(a[i]>a[j])
48
49 {
50
51 c[tmp++]=a[j++];
52
53 cnt+=mid-i;
54
55 }
56
57 else c[tmp++]=a[i++];
58
59 }
60
61 while(j<r) c[tmp++]=a[j++];
62
63 while(i<mid) c[tmp++]=a[i++];
64
65 for(i=l;i<r;++i) a[i]=c[i];
66
67 }
68
69 }
70
71
72
73 int main()
74
75 {
76
77 int n,m,pl;
78
79 //读入问题的规模，以(0,0)结尾
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81 while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
82
83 {
84
85 if(n == 0 || m == 0) break;
86
87 //这个用来标记逆序对的和
88
89 cnt = 0;
90
91 //这个用来标明当前处理的方块的位置
92
93 pl = 0;
94
95 int x,loc0;
96
97 for(int i = 0; i < n*m; i++)
98
99 {
100
101 scanf("%d",&a[pl]);
102
103 if(a[pl] == 0)
104
105 {
106
107 x = pl/m;
108
109 loc0 = pl;
110
111 }
112
113 pl++;
114
115 }
116
117 MergeSort(0,pl);
118
119 //扣除0的逆序数
120
121 cnt -= loc0;
122
123 int step = 0;
124
125 //若列数为奇数，则数字的上下左右移动都不影响最终逆序对的总数
126
127 if(m%2 == 1)
128
129 step = 0;
130
131 //若列数为偶数，左右移动不影响，但上下移动一次，会改变一次逆序对总数的奇偶性
132
133 else
134
135 step = n - 1 - x;
136
137 //初始，结束状态的逆序对总数奇偶性一致，则问题可解
138
139 if(step%2 == cnt % 2)
140
141 printf("YES\n");
142
143 else
144
145 printf("NO\n");
146
147 }
148
149 return 0;
150
151 }
进一步推广，魔方，七巧板，华容道……
如图，这是一个魔方，是由N*N*N个小立方体组成的。我们这里随意拿走一个小立方体，并假设整个结构没有被破坏。那么，这是一次更普遍的飞跃，由二维空间上升到了三维空间。但是，其解的唯一性定律还适用嘛？答案是肯定的，证明如下：
魔方数码问题的解的唯一性定理
考虑左右移动空格，逆序不变；同一层上下移动空格，跨过N-1个格子；上下层移动空格，跨过N^2-1个格子。
当N为奇数时，N-1和N^2-1均为偶数，也就是任意移动空格逆序奇偶性不变。那么逆序奇偶性相同的两个状态可相互到达。
当N为偶数时，N-1和N^2-1均为奇数，也就是令空格位置到目标状态空格位置的y z方向的距离之和，称为空格距离。若空格距离为偶数，两个逆序奇偶性相同的状态可相互到达；若空格距离为奇数，两个逆序奇偶性不同的状态可相互到达。
七巧板
更为一般性的拓展，我们可以考虑到其图形不一定是正方形或者是正方体，比如，我们国家民间的七巧板游戏，这些方块的形状都不是正方形，甚至彼此都不一定相 同，但是，经过一定的组合之后，却构成了一个比较好玩的游戏。但是，这个游戏并不是通过方块的滑动来实现的，而是放置，所以，在这一点上看，软件的实现比 较简单。
其实现并不复杂，只要给出固定的解，每一次比对是否将图形安装到固定的位置就可以了，如图所示，这是其中的一款游戏：
华容道
更复杂的游戏，比如华容道的AI，就要考虑很多因素，因为，不同的方块形状是不一样的，不过，索性还有一定的规则可以追寻，其实现目前很多，我用的是一个中学老师的AI版本（他写成了一篇论文）。我之后会单独以一个Round来放送的。
---恢复内容结束---
