吴昊品游戏核心算法（新年特别篇）——另类取石子游戏（斐波那契博弈）
吴昊继续，我再也不想搬一堆石头放在这里了，取而代之的是《编程之美》中的关于游戏章节的一个插图，这本书中也有对《取石子游戏》的较为完备的讨论。
这次的游戏是神马？
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".
Fibonacci博弈
1堆石子有n个,两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个，但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍。取完者胜.先取者负输出"Second win".先取者胜输出"First win".
以上可以看出，Fibonacci博弈中，后者的行为部分决定于前者的行为，自由度缩小了。
Fibonacci博弈的标准表述：
斐波那契博弈模型，大致上是这样的：
有一堆个数为 n 的石子，游戏双方轮流取石子，满足：
1. 先手不能在第一次把所有的石子取完；
2. 之后每次可以取的石子数介于1到对手刚取的石子数的2倍之间（包含1和对手刚取的石子数的2倍）。
约定取走最后一个石子的人为赢家，求必败态。
Fibonacci博弈的奥义：
相比之前的一些“奥义”，Fibonacci博弈有些复杂，所以这里不予列出，但是，在搞清楚其奥义之前先要搞清楚一个定理的奥义，就是“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理），至于各种理论，详见各种百科吧！
对于本问题的分析：
（转某博客）分析：
n = 2时输出second；
n = 3时也是输出second；
n = 4时，第一个人想获胜就必须先拿1个，这时剩余的石子数为3，此时无论第二个人如何取，第一个人都能赢，输出first；
n = 5时，first不可能获胜，因为他取2时，second直接取掉剩下的3个就会获胜，当他取1时，这样就变成了n为4的情形，所以输出的是second；
n = 6时，first只要去掉1个，就可以让局势变成n为5的情形，所以输出的是first；
n = 7时，first取掉2个，局势变成n为5的情形，故first赢，所以输出的是first；
n = 8时，当first取1的时候，局势变为7的情形，第二个人可赢，first取2的时候，局势变成n为6得到情形，也是第二个人赢，取3的时候，second直接取掉剩下的5个，所以n = 8时，输出的是second；
…………
从上面的分析可以看出，n为2、3、5、8时，这些都是输出second，即必败点，仔细的人会发现这些满足斐波那契数的规律，可以推断13也是一个必败点。
借 助“Zeckendorf定理”（齐肯多夫定理）：任何正整数可以表示为若干个不连续的Fibonacci数之和。n=12时，只要谁能使石子剩下8且此 次取子没超过3就能获胜。因此可以把12看成8+4，把8看成一个站，等价与对4进行"气喘操作"。又如13，13=8+5，5本来就是必败态，得出13 也是必败态。也就是说，只要是斐波那契数，都是必败点。
所以我们可以利用斐波那契数的公式：fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2]，只要n是斐波那契数就输出second。
Solve:
2 using namespace std;
3
4 int main()
5 {
6 int n,fib[45];
7 int i,flag;
8 fib[0]=2;
9 fib[1]=3;
10 //Fibonacci数在一定范围内可以近似为指数增长，所以数组开到n=45就已经足够了！
11 for(i=2;i<45;i++)
12 fib[i]=fib[i-1]+fib[i-2];
13 while(cin>>n&&n)
14 {
15 flag=0;
16 for(i=0;i<45;i++)
17 {
18 if(fib[i]==n)
19 {
20 cout<<"Second win\n";
21 flag=1;
22 break;
23 }
24 }
25 if(flag==0)
26 cout<<"First win\n";
27 }
28 return 0;
29 }
