组合数学从入门到入土为安

题目例题节选自：Link， 但解析都是自己想并且写出来的。

排列数

$A_{n}^{m}$，$n$ 个数抽 $m$ 个，考虑这 $m$ 个数的顺序。

可以看成有 $m$ 个盒子，第一个盒子有 $n$ 种情况，第二个盒子有 $n - 1$ 种情况，第三个盒子有 $n - 2$
种情况，第 $m$ 个有 $n - m+1$ 种情况。

所以 $A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}$

组合数

$C_{n}^{m}$，$n$ 个数抽 $m$ 个，不考虑这 $m$ 个数的顺序。

先考虑顺序抽完这 $m$ 个数，然后在这个 $m$ 个数组成的情况找到一个就行了。

这 $m$ 个组成的情况有 $A_{m}^{m} = m!$。

所以 $C_{n}^m = \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$

计数策略：

特殊位置优先考虑法

例题：

由 $0, 1, 2, 3, 4, 5$ 组成的 $5$ 位奇数有多少个？

因为是奇数，所以最后一位一定是个奇数，有 $1,3,5$ 三种情况，就是 $C_3^1$。

然后第一位一定不是 $0$，除去最后一位已经选了，所以是 $C_4^1$。

中间的三位，是四个数抽三个，不考虑顺序的，就是 $A_4^3$。

所以乘法原理乘起来，最终的答案是 $C_3^1 \times C_4^1 \times A_4^3$。

用 $0$ 到 $9$ 这 $10$ 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

因为是偶数，所以最后一位有 $0, 2, 4, 6, 8$ 五种情况，就是 $C_{5}^{1}$。

然后前两位共有 $A_9^2$ 种情况，但是第一位不能是 $0$，但是当最后一位是 $0$ 的时候，第一位也不能是 $0$ 了，

所以当最后一位是 $0$ 的时候，就不用考虑首位是 $0$ 的情况了，也就是 $C_4^1 \times C_8^1$。

最终答案就是容斥一下： $C_5^1 \times A_9^2 - C_4^1 \times C_8^1$。

相邻元素捆绑法

例题：

$7$ 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。

将甲乙，丙丁都看成一个人，所以现在有 $5$ 个人，然后不考虑顺序的排列，方案数是 $A_5^5$。

接下来考虑每种方案中，甲乙，丙丁内部的排列都为 $A_2^2$。

乘法原理乘起来 $A_5^5 \times A_2^2 \times A_2^2$

记者要为 $5$ 名志愿者和他们帮助的 $2$ 位老人拍照，要求排成一排，$2$ 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量。

先考虑 $5$ 位志愿者的排列方案，排列的种类数就是 $A_5^5$，但是两位老人不能在两端，所以可以看成把俩个老人插在 $5$ 位志愿者中间的空隙中，共有 $4$ 个空隙，然后考虑两个老人的排列为 $A_2^2$。

最后乘法原理： $A_5^5 \times C_4^1 \times A_2^2$。

不相邻插空法

例题：

一个晚会的节目有 $4$ 个舞蹈，$2$ 个相声，$3$ 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

先考虑 $2$ 个相声， $3$ 个独唱能产生的空隙共 $6$ 个，把 $4$ 个舞蹈插里面，共 $A_6^4$ 种情况。

总方案数是 $A_5^5 \times A_6^4$。

定序问题倍缩空位插入法

$7$ 人排队，其中甲乙丙 $3$ 人顺序一定，共有多少不同的排法。

因为这三个人不一定在一块，所以不能绑一块，先求出不考虑这三个人的排列方案数为 $A_7^7$。

考虑这三个人的顺序，共有： $A_3^3$。

乘法原理，答案是 $\frac{A_7^7}{A_3^3}$

排列问题求幂法

例题：

把 $6$ 名实习生分配到 $7$ 个车间实习，共有多少种不同的分法。

每一个实习生可以选 $7$ 种，所以最终的方案数是 $7^6$。