组合数学从入门到入土为安

题目例题节选自：Link， 但解析都是自己想并且写出来的。

排列数

\(A_{n}^{m}\)，\(n\) 个数抽 \(m\) 个，考虑这 \(m\) 个数的顺序。

可以看成有 \(m\) 个盒子，第一个盒子有 \(n\) 种情况，第二个盒子有 \(n - 1\) 种情况，第三个盒子有 \(n - 2\)
种情况，第 \(m\) 个有 \(n - m+1\) 种情况。

所以 \(A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n-m)!}\)

组合数

\(C_{n}^{m}\)，\(n\) 个数抽 \(m\) 个，不考虑这 \(m\) 个数的顺序。

先考虑顺序抽完这 \(m\) 个数，然后在这个 \(m\) 个数组成的情况找到一个就行了。

这 \(m\) 个组成的情况有 \(A_{m}^{m} = m!\)。

所以 \(C_{n}^m = \frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}\)

计数策略：

特殊位置优先考虑法

例题：

由 \(0, 1, 2, 3, 4, 5\) 组成的 \(5\) 位奇数有多少个？

因为是奇数，所以最后一位一定是个奇数，有 \(1,3,5\) 三种情况，就是 \(C_3^1\)。

然后第一位一定不是 \(0\)，除去最后一位已经选了，所以是 \(C_4^1\)。

中间的三位，是四个数抽三个，不考虑顺序的，就是 \(A_4^3\)。

所以乘法原理乘起来，最终的答案是 \(C_3^1 \times C_4^1 \times A_4^3\)。

用 \(0\) 到 \(9\) 这 \(10\) 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？

因为是偶数，所以最后一位有 \(0, 2, 4, 6, 8\) 五种情况，就是 \(C_{5}^{1}\)。

然后前两位共有 \(A_9^2\) 种情况，但是第一位不能是 \(0\)，但是当最后一位是 \(0\) 的时候，第一位也不能是 \(0\) 了，

所以当最后一位是 \(0\) 的时候，就不用考虑首位是 \(0\) 的情况了，也就是 \(C_4^1 \times C_8^1\)。

最终答案就是容斥一下： \(C_5^1 \times A_9^2 - C_4^1 \times C_8^1\)。

相邻元素捆绑法

例题：

\(7\) 人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法。

将甲乙，丙丁都看成一个人，所以现在有 \(5\) 个人，然后不考虑顺序的排列，方案数是 \(A_5^5\)。

接下来考虑每种方案中，甲乙，丙丁内部的排列都为 \(A_2^2\)。

乘法原理乘起来 \(A_5^5 \times A_2^2 \times A_2^2\)

记者要为 \(5\) 名志愿者和他们帮助的 \(2\) 位老人拍照，要求排成一排，\(2\) 位老人相邻但不排在两端，求不同排法的数量。

先考虑 \(5\) 位志愿者的排列方案，排列的种类数就是 \(A_5^5\)，但是两位老人不能在两端，所以可以看成把俩个老人插在 \(5\) 位志愿者中间的空隙中，共有 \(4\) 个空隙，然后考虑两个老人的排列为 \(A_2^2\)。

最后乘法原理： \(A_5^5 \times C_4^1 \times A_2^2\)。

不相邻插空法

例题：

一个晚会的节目有 \(4\) 个舞蹈，\(2\) 个相声，\(3\) 个独唱，舞蹈节目不能连续出场，则节目的出场顺序有多少种？

先考虑 \(2\) 个相声， \(3\) 个独唱能产生的空隙共 \(6\) 个，把 \(4\) 个舞蹈插里面，共 \(A_6^4\) 种情况。

总方案数是 \(A_5^5 \times A_6^4\)。

定序问题倍缩空位插入法

\(7\) 人排队，其中甲乙丙 \(3\) 人顺序一定，共有多少不同的排法。

因为这三个人不一定在一块，所以不能绑一块，先求出不考虑这三个人的排列方案数为 \(A_7^7\)。

考虑这三个人的顺序，共有： \(A_3^3\)。

乘法原理，答案是 \(\frac{A_7^7}{A_3^3}\)

排列问题求幂法

例题：

把 \(6\) 名实习生分配到 \(7\) 个车间实习，共有多少种不同的分法。

每一个实习生可以选 \(7\) 种，所以最终的方案数是 \(7^6\)。