欧拉路径

欧拉路径

是指所有边都经过一遍且仅经过一遍。

如果从一个点出发后又回到了这个点，这就叫欧拉回路。

• 具有欧拉回路的图是欧拉图。

• 具有欧拉路径但不具有欧拉回路的图是半欧拉图。

判断存在性

欧拉图

• 无向图：图的所有顶点的度数都是偶数。

证明：

充分性：

因为每个边都会经过一遍，然后离开一遍，当经过这条边的时候，顶点的度数加 \(2\)。

多了一个入度，多了一个出度。

当离开这条边的时候，顶点的度数也会加 \(2\)，所以所有顶点的度数必为偶数。

必要性：

任选一个点，走出一个环，要走到另一个环，只会影响交界点的度数，入度加 \(1\)，出度加 \(1\)，所有环拼起来还是欧拉回路。

• 有向图： 图的所有顶点的入度和出度一定相等。

半欧拉图

• 无向图 ： 有且仅有两个顶点的度数为奇数。

• 有向图： 有且仅有一个顶点入度减出度为 \(1\)，有且仅有一个顶点出度减入度为 \(1\)。