线性寄

定义

线性基是一个数的集合，取线性基中若干个数异或起来可以得到原序列中的任何一个数。

我们设 $P$ 为线性基的集合，$a$ 为原数组。

那么 $a_i$ 都能被若干个 $P$ 内的元素的异或和表示出来。

用途：

通常可以解决有关异或的一些题目。

线性基的性质：

• $P_i$ 的最高位不同。
• $P_i$ 中没有异或和为 $0$ 的子集。

算法流程：

前置知识：

a ^ b = c  等价于 a = c ^ b
a ^ b ^ b = a

异或的简单性质，至于证明 ~这你都不会快退役叭。

我们设 $P_i$ 代表的是最高有效位为第i位的线性基的向量。

浅显易懂

首先我们要满足原数组的数能被线性基的子集表示。

当我们要插入一个数 $x$ 。

• 从高位向低位判断，直到遇到该元素某位上为 $1$，设该位为 $i$。
• 然后判断 $p_i$ 是否有值，如果没有把 $x$ 存到 $p_i$ 中，否则将 $x$ 与 $p_i$ 异或然后重复上面的操作。

来证明一下为啥这样构造是对的，也就是为啥都能用线性基表示出来：

• 如果 $p_i$ 无值，则 $p_i = a_i$ ，显然能表示出来。

• 如果 $p_i$ 有值， $a_i = a_i\ xor\ p_i$，然后假设他会在 $p_{i - j}$ 被加进线性基中，$p_{i- j} = a_i \ xor \ p_i$，

  然后 $p_i \ xor\ p_{i -j} = p_i \ xor\ a_i \ xor \ p_i = a_i$。所以 $a_i$ 也被表示出来了。

  所以该构造方案是正确的。

于是我们可以写出代码：

void add(int x) {
	for(int i = 63; i >= 0; i--) {
		if(x & (1ll << i)) {
			if(p[i]) x ^= p[i];
			else { p[i] = x; break;}
		}
	}	
}