矩阵浅谈qwq
矩阵：
前置知识：
矩阵，定义太长了，其实就是个屑二维数组。（
他的运算也比较毒瘤。
- 加减法：
太屑了。
比如两个矩阵相加，其实就是对应位置加减去对应位置的数就行了。
- 乘除法：
乘法很毒瘤，但这就是定义，只有一个 \(a \times b\) 和一个 \(b \times c\) 的矩阵才能相乘，这里前后的顺序不能颠倒，因为这就是毒瘤定义，当且仅当一个矩阵的长等于另一个矩阵的宽才能乘。
乘完之后就乘了一个 \(a \times c\) 的矩阵。
然后我们现在只知道这样能乘，和乘完之后成为一个什么样的矩阵，那里有的值是啥呢。
我们设一个矩阵 \(A\) 为一个 \(a \times b\) 的矩阵，然后我们再设一个矩阵 \(B\) 为一个 \(b \times c\) 的矩阵，我们由前面告诉你的毒瘤定义可知， \(A \times B\) 后的矩阵 \(C\) 为一个 \(a \times c\) 的矩阵。
我们有以下公式可以求出矩阵中任意一个点的元素大小：
其实感觉有点像向量，虽然好像一点关系也没有。
- 数乘运算：
就是一个数乘一个 \(n \times m\) 矩阵，这个时候你可能就要问了啊，那你把一个数看成一个 \(1 \times 1\) 的矩阵，那这不就是不满足你的定义了吗。
这个时候我们跳出规则，把格局打开，再重新定义一手。
矩阵的数乘就是把这个数乘到每一个 \((i, j)\) 元上
- 矩阵转置：
就是把一个矩阵旋转 \(90^{o}\)。
这就是矩阵的一些基础前置知识，然后我们来讲矩阵快速幂。
- 单位矩阵
就相当于一个 \(1\), 主对角线上全为 \(1\)，其余地方为 \(0\) 的矩阵就是单位矩阵。
矩阵快速幂
这可是个好东西。
比如你要得出了一个递推式，奈何他让你递推 \(10^{18}\)，那你怎么办，那就用矩阵加速递推，那怎么加速递推呢，就用矩阵快速幂。
我们根据前面的定义知道一个 \(n \times m\) 矩阵 \(A\) 是可以不断的乘自己的，就是不断的转置，然后乘。
我们想要求出 \(A^k\)。
那该怎么求呢。
我们仿照快速幂的方法来求。
我们用一个结构体来存:
struct node {
int a[MAXN][MAXN];
node() {memset(a, false, sizeof a);}
void build() {for(int i = 1; i <= n; i++) a[i][i] = 1;} //构造单位矩阵
void print() {
for(int i = 1; i <=n;cout << '\n', i++){
for(int j = 1; j <= n; j++) {
cout << a[i][j] << " ";
}
}
}
}
应该没有人看不懂吧。
然后乘法就是仿照之前提到的式子模拟即可。
node operator * (const node &x, const node &y) {
node z;
for(int l = 1; l <= n; l++) {
for(int i = 1; i <= n; i++) {
for(int j = 1; j <= n; j++) {
z.a[i][j] = (z.a[i][j] + x.a[i][l] * y.a[l][j] % mod) % mod;
}
}
}
return z;
}
\(z\) 就是我们 \(x \times y\) 的矩阵。
然后具体求解的时候也就是 \(A^k\)。
，
这里 \(ans\) 是 \(A^k\)，\(b\) 就是 \(A\)。
node ksm(node A, int k) {
node res;
res.build();
while(k) {
if(k & 1) res = res * A;
A = A * A, k >>= 1;
}
return res;
}
然后我们就愉快的将模板题切掉了。
矩阵加速递推：
那什么样的递推式才能用矩阵加速递推呢，就是给你前几项，然后后面的等于前面某几项的和，要是按照递推式推过去会超时，这个时候就需要用到矩阵来加速递推了。
具体是怎么递推呢，我们需要构造两个矩阵，一个是初始矩阵，一个是递推矩阵，这个递推矩阵一般是一个 \(3 \times 3\) 的矩阵。
比如我们的通项公式为 \(a_i = a_{i - 1} + a_{i - 3}\)，然后我们知道 \(a_1, a_2, a_3\)，如果我让你求 \(a_{1e8}\)。
我们就用初始矩阵去乘上递推矩阵的 \(10^8\) 就能得到了。
那怎么去构造这两个矩阵呢。
画个图来感性理解一下 qwq。
\(\begin{vmatrix}a_{i - 1}\\a_{i - 2}\\a_{i - 3}\end{vmatrix}\) \(\times\) \(\begin{vmatrix}z&&h&&b\\x&&j&&p\\s &&s&&h\end{vmatrix}\) \(=\) \(\begin{vmatrix}a_{i}\\a_{i - 1}\\a_{i - 2}\end{vmatrix}\)
我们要求出第二个矩阵，观察一下这两个矩阵 \(a_{i - 1}\) 和 \(a_i\) 相对，然后根据通项公式可知，\(a_{i} = a_{i - 1}\ +\ a_{i - 3}\)，所以 \(z\ =\ 1\ \&\ x\ =\ 0\ \&\ s\ =\ 1\)。剩下的一个样。
最后我们求出来第二个矩阵 ：
\(\begin{vmatrix}1&&1&&0\\0&&0&&1\\1 &&0&&0\end{vmatrix}\)
然后开始乘就行了，其实挺简单的。
代码贴贴：
struct node {
int a[MAX][MAX];
node() {memset(a, false, sizeof a); }
void build() { for(int i = 1; i <= 3; i++) a[i][i] = 1; }
}Frist, t;
node operator * (const node &x, const node &y) {
node res;
for(int i = 1; i <= 3; i++) {
for(int k = 1; k <= 3; k++) {
for(int j = 1; j <= 3; j++) {
res.a[i][j] = (res.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod) %mod;
}
}
}return res;
}
node Ksm(node x, int k) {
node res;
res.build();
while(k) {
if(k & 1) res = res * x;
x = x * x, k >>= 1;
}return res;
}
Frist.a[1][1] = Frist.a[1][2] = Frist.a[1][3] = 1;
t.a[1][1] = t.a[1][2] = t.a[2][3] = t.a[3][1] = 1;
