矩阵浅谈qwq

矩阵：

前置知识：

矩阵，定义太长了，其实就是个屑二维数组。（

他的运算也比较毒瘤。

• 加减法：

太屑了。

比如两个矩阵相加，其实就是对应位置加减去对应位置的数就行了。

• 乘除法：

乘法很毒瘤，但这就是定义，只有一个 $a \times b$ 和一个 $b \times c$ 的矩阵才能相乘，这里前后的顺序不能颠倒，因为这就是毒瘤定义，当且仅当一个矩阵的长等于另一个矩阵的宽才能乘。

乘完之后就乘了一个 $a \times c$ 的矩阵。

然后我们现在只知道这样能乘，和乘完之后成为一个什么样的矩阵，那里有的值是啥呢。

我们设一个矩阵 $A$ 为一个 $a \times b$ 的矩阵，然后我们再设一个矩阵 $B$ 为一个 $b \times c$ 的矩阵，我们由前面告诉你的毒瘤定义可知， $A \times B$ 后的矩阵 $C$ 为一个 $a \times c$ 的矩阵。

我们有以下公式可以求出矩阵中任意一个点的元素大小：

$$C_{i,j} = \sum_{r=1}^{b} A_{i,r} \times B_{r, j}$$

其实感觉有点像向量，虽然好像一点关系也没有。

• 数乘运算：

就是一个数乘一个 $n \times m$ 矩阵，这个时候你可能就要问了啊，那你把一个数看成一个 $1 \times 1$ 的矩阵，那这不就是不满足你的定义了吗。

这个时候我们跳出规则，把格局打开，再重新定义一手。

矩阵的数乘就是把这个数乘到每一个 $(i, j)$ 元上

• 矩阵转置：

就是把一个矩阵旋转 $90^{o}$。

这就是矩阵的一些基础前置知识，然后我们来讲矩阵快速幂。

• 单位矩阵

就相当于一个 $1$, 主对角线上全为 $1$，其余地方为 $0$ 的矩阵就是单位矩阵。

矩阵快速幂

这可是个好东西。

比如你要得出了一个递推式，奈何他让你递推 $10^{18}$，那你怎么办，那就用矩阵加速递推，那怎么加速递推呢，就用矩阵快速幂。

我们根据前面的定义知道一个 $n \times m$ 矩阵 $A$ 是可以不断的乘自己的，就是不断的转置，然后乘。

我们想要求出 $A^k$。

那该怎么求呢。

我们仿照快速幂的方法来求。

我们用一个结构体来存:

struct node {
	int a[MAXN][MAXN];
    node() {memset(a, false, sizeof a);}
	void build() {for(int i = 1; i <= n; i++) a[i][i] = 1;} //构造单位矩阵
    void print() {
        for(int i = 1; i <=n;cout << '\n', i++){
			for(int j = 1; j <= n; j++) {
                cout << a[i][j] << " ";
            }
        }
    } 
}

应该没有人看不懂吧。

---

然后乘法就是仿照之前提到的式子模拟即可。

node operator * (const node &x, const node &y) {
	node z;
    for(int l = 1; l <= n; l++) {
		for(int i = 1; i <= n; i++) {
			for(int j = 1; j <= n; j++) {
				z.a[i][j] = (z.a[i][j] + x.a[i][l] * y.a[l][j] % mod) % mod;
            }
        }
    }
    return z;
}

$z$ 就是我们 $x \times y$ 的矩阵。

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然后具体求解的时候也就是 $A^k$。
，
这里 $ans$ 是 $A^k$，$b$ 就是 $A$。

node ksm(node A, int k) {
	node res;
	res.build();
	while(k) {
		if(k & 1) res = res * A;
		A = A * A, k >>= 1;	
	}
	return res;
}

然后我们就愉快的将模板题切掉了。

矩阵加速递推：

那什么样的递推式才能用矩阵加速递推呢，就是给你前几项，然后后面的等于前面某几项的和，要是按照递推式推过去会超时，这个时候就需要用到矩阵来加速递推了。

具体是怎么递推呢，我们需要构造两个矩阵，一个是初始矩阵，一个是递推矩阵，这个递推矩阵一般是一个 $3 \times 3$ 的矩阵。

比如我们的通项公式为 $a_i = a_{i - 1} + a_{i - 3}$，然后我们知道 $a_1, a_2, a_3$，如果我让你求 $a_{1e8}$。

我们就用初始矩阵去乘上递推矩阵的 $10^8$ 就能得到了。

那怎么去构造这两个矩阵呢。

画个图来感性理解一下 qwq。

$\begin{vmatrix}a_{i - 1}\\a_{i - 2}\\a_{i - 3}\end{vmatrix}$ $\times$ $\begin{vmatrix}z&&h&&b\\x&&j&&p\\s &&s&&h\end{vmatrix}$ $=$ $\begin{vmatrix}a_{i}\\a_{i - 1}\\a_{i - 2}\end{vmatrix}$

我们要求出第二个矩阵，观察一下这两个矩阵 $a_{i - 1}$ 和 $a_i$ 相对，然后根据通项公式可知，$a_{i} = a_{i - 1}\ +\ a_{i - 3}$，所以 $z\ =\ 1\ \&\ x\ =\ 0\ \&\ s\ =\ 1$。剩下的一个样。

最后我们求出来第二个矩阵 ：

$\begin{vmatrix}1&&1&&0\\0&&0&&1\\1 &&0&&0\end{vmatrix}$

然后开始乘就行了，其实挺简单的。

代码贴贴：

struct node {
	int a[MAX][MAX];
	node() {memset(a, false, sizeof a); }
	void build() { for(int i = 1; i <= 3; i++) a[i][i] = 1; }  
}Frist, t;
 
node operator * (const node &x, const node &y) {
	node res;
	for(int i = 1; i <= 3; i++) {
		for(int k = 1; k <= 3; k++) {
			for(int j = 1; j <= 3; j++) {
				res.a[i][j] = (res.a[i][j] + x.a[i][k] * y.a[k][j] % mod) %mod;
			}
		}
	}return res;
}
 
node Ksm(node x, int k) {
	node res;
	res.build();
	while(k) {
		if(k & 1) res = res * x;
		x = x * x, k >>= 1;
	}return res;
}
Frist.a[1][1] = Frist.a[1][2] = Frist.a[1][3] = 1;
t.a[1][1] = t.a[1][2] = t.a[2][3] = t.a[3][1] = 1;