一道有趣的数论题

题目

找到所有 $n$ ，满足 $\exists a,b,c\in \mathbb{Z^+}\text{ s.t. }n=\operatorname{lcm}(a,b)+\operatorname{lcm}(a,c)+\operatorname{lcm}(b,c)$

分析

初看毫无头绪，所以先代入几组 $(a,b,c)$ 观察到 $1,2,4,8,\cdots$ 无法被表示成如上形式，所以猜想 $n=2^p,(p\in\mathbb{N})$ 时无法表示成如上形式

先证明几个引理：

1. 两个奇数的最小公倍数是奇数

   若它们的最小公倍数为偶数， $\operatorname{lcm}(x,y)=2k\Rightarrow x\mid 2k,y\mid 2k$ 而 $\gcd(x,2)=\gcd(y,2)=1\Rightarrow x\mid k,y\mid k\Rightarrow\operatorname{lcm}(x,y)\leq k$ 与假设矛盾

2. 两个偶数的最小公倍数是偶数

   若它们的最小公倍数为奇数 $2k+1$ ，那么 $x\mid 2k+1\Rightarrow 2\mid 2k+1$ 显然不成立

3. 一个奇数和一个偶数的最小公倍数是偶数

   证明同上

再证明猜想：

设 $A=\operatorname{lcm}(a,b),B=\operatorname{lcm}(a,c),C=\operatorname{lcm}(b,c)$

• $n<2^2$ 时

  $\forall{x,y\in\mathbb{Z^+}},\operatorname{lcm}(x,y)\geq 1\Rightarrow A+B+C\geq 3$ ，所以 $2^0,2^1$ 无法被表示

  而 $a=b=c=1$ 时 $A+B+C=3$ ，所以 $3$ 可以被表示

• 若 $n<2^k$ 时猜想都成立

• 则 $2^k\leq n<2^{k+1}$ 时

  • 若 $n$ 为奇数，设 $n=2t+1$ ，取 $a=b=1,c=t$ 时有 $A+B+C=2t+1=n$
  • 若 $n$ 为偶数且不为 $2$ 的次幂，设 $n=2t$ ，则 $t=\frac{n}{2}<2^k$ ，所以存在 $a_1,b_1,c_1$ 使 $t=\operatorname{lcm}(a_1,b_1)+\operatorname{lcm}(a_1,c_1)+\operatorname{lcm}(b_1,c_1)$ ，取 $a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1$ ，因为 $2\operatorname{lcm}(x,y)=\operatorname{lcm}(2x,2y)$ 所以 $n=A+B+C=2(A_1+B_1+C_1)=2t$
  • 若 $n=2^k$ ，用反证法，假设 $n$ 可以被表示为 $A+B+C$
    • 若 $a,b,c$ 中有 $0$ 个奇数，那么取 $a_1=\frac{a}{2},b_1=\frac{b}{2},c_1=\frac{c}{2}$ ，有 $A=2A_1,B=2B_1,C=2C_1$ ，所以 $2^{k-1}=\frac{1}{2}(A+B+C)$ 也可以被表示，与已证明的部分矛盾
    • 若 $a,b,c$ 中有且仅有 $2$ 个奇数，不妨设 $a,b$ 为奇数，由引理得 $\operatorname{lcm}(a,b)$ 为奇数，$\operatorname{lcm}(a,c)$ 为偶数，$\operatorname{lcm}(b,c)$ 为偶数，$A+B+C$ 为奇数，与 $n=2^k$ 矛盾
    • 若 $a,b,c$ 中有且仅有 $3$ 个奇数，同理，讨论奇偶性可推出矛盾
    • 若 $a,b,c$ 中有且仅有 $1$ 个奇数，不妨设 $c$ 为奇数，设 $d=\gcd(a,c)$ 则 $d\mid a,d\mid c\Rightarrow 2\not\mid d\Rightarrow \gcd(2,d)=1\Rightarrow d\mid\frac{a}{2}\Rightarrow d=\gcd(\frac{a}{2},c)$ 进一步地，$\operatorname{lcm}(\frac{a}{2},c)=\frac{ac}{2\gcd(a/2,c)}=\frac{1}{2}\operatorname{lcm}(a,c)$ ，同理 $\operatorname{lcm}(\frac{b}{2},c)=\frac{1}{2}\operatorname{lcm}(b,c)$ 那么取 $a_1=\frac{a}{2},b_1=\frac{b}{2},c_1=c$ 有 $A=2A_1,B=2B_1,C=2C_1$ 所以 $2^{k-1}=\frac{1}{2}(A+B+C)$ 也可以被表示，与已证明的部分矛盾

综上，猜想成立