一道有趣的数论题

题目

找到所有 \(n\) ，满足 \(\exists a,b,c\in \mathbb{Z^+}\text{ s.t. }n=\operatorname{lcm}(a,b)+\operatorname{lcm}(a,c)+\operatorname{lcm}(b,c)\)

分析

初看毫无头绪，所以先代入几组 \((a,b,c)\) 观察到 \(1,2,4,8,\cdots\) 无法被表示成如上形式，所以猜想 \(n=2^p,(p\in\mathbb{N})\) 时无法表示成如上形式

先证明几个引理：

1. 两个奇数的最小公倍数是奇数

   若它们的最小公倍数为偶数， \(\operatorname{lcm}(x,y)=2k\Rightarrow x\mid 2k,y\mid 2k\) 而 \(\gcd(x,2)=\gcd(y,2)=1\Rightarrow x\mid k,y\mid k\Rightarrow\operatorname{lcm}(x,y)\leq k\) 与假设矛盾

2. 两个偶数的最小公倍数是偶数

   若它们的最小公倍数为奇数 \(2k+1\) ，那么 \(x\mid 2k+1\Rightarrow 2\mid 2k+1\) 显然不成立

3. 一个奇数和一个偶数的最小公倍数是偶数

   证明同上

再证明猜想：

设 \(A=\operatorname{lcm}(a,b),B=\operatorname{lcm}(a,c),C=\operatorname{lcm}(b,c)\)

• \(n<2^2\) 时

  \(\forall{x,y\in\mathbb{Z^+}},\operatorname{lcm}(x,y)\geq 1\Rightarrow A+B+C\geq 3\) ，所以 \(2^0,2^1\) 无法被表示

  而 \(a=b=c=1\) 时 \(A+B+C=3\) ，所以 \(3\) 可以被表示

• 若 \(n<2^k\) 时猜想都成立

• 则 \(2^k\leq n<2^{k+1}\) 时

  • 若 \(n\) 为奇数，设 \(n=2t+1\) ，取 \(a=b=1,c=t\) 时有 \(A+B+C=2t+1=n\)
  • 若 \(n\) 为偶数且不为 \(2\) 的次幂，设 \(n=2t\) ，则 \(t=\frac{n}{2}<2^k\) ，所以存在 \(a_1,b_1,c_1\) 使 \(t=\operatorname{lcm}(a_1,b_1)+\operatorname{lcm}(a_1,c_1)+\operatorname{lcm}(b_1,c_1)\) ，取 \(a=2a_1,b=2b_1,c=2c_1\) ，因为 \(2\operatorname{lcm}(x,y)=\operatorname{lcm}(2x,2y)\) 所以 \(n=A+B+C=2(A_1+B_1+C_1)=2t\)
  • 若 \(n=2^k\) ，用反证法，假设 \(n\) 可以被表示为 \(A+B+C\)
    • 若 \(a,b,c\) 中有 \(0\) 个奇数，那么取 \(a_1=\frac{a}{2},b_1=\frac{b}{2},c_1=\frac{c}{2}\) ，有 \(A=2A_1,B=2B_1,C=2C_1\) ，所以 \(2^{k-1}=\frac{1}{2}(A+B+C)\) 也可以被表示，与已证明的部分矛盾
    • 若 \(a,b,c\) 中有且仅有 \(2\) 个奇数，不妨设 \(a,b\) 为奇数，由引理得 \(\operatorname{lcm}(a,b)\) 为奇数，\(\operatorname{lcm}(a,c)\) 为偶数，\(\operatorname{lcm}(b,c)\) 为偶数，\(A+B+C\) 为奇数，与 \(n=2^k\) 矛盾
    • 若 \(a,b,c\) 中有且仅有 \(3\) 个奇数，同理，讨论奇偶性可推出矛盾
    • 若 \(a,b,c\) 中有且仅有 \(1\) 个奇数，不妨设 \(c\) 为奇数，设 \(d=\gcd(a,c)\) 则 \(d\mid a,d\mid c\Rightarrow 2\not\mid d\Rightarrow \gcd(2,d)=1\Rightarrow d\mid\frac{a}{2}\Rightarrow d=\gcd(\frac{a}{2},c)\) 进一步地，\(\operatorname{lcm}(\frac{a}{2},c)=\frac{ac}{2\gcd(a/2,c)}=\frac{1}{2}\operatorname{lcm}(a,c)\) ，同理 \(\operatorname{lcm}(\frac{b}{2},c)=\frac{1}{2}\operatorname{lcm}(b,c)\) 那么取 \(a_1=\frac{a}{2},b_1=\frac{b}{2},c_1=c\) 有 \(A=2A_1,B=2B_1,C=2C_1\) 所以 \(2^{k-1}=\frac{1}{2}(A+B+C)\) 也可以被表示，与已证明的部分矛盾

综上，猜想成立