Codeforces Round #772(Div.2) [A~D]

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A.Min or Sum

题目

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，可以执行任意次如下操作：

• 任取两个整数 $i,j$ ，使 $a_i=x,a_j=y$ ，$x,y$ 需要满足 $x\mid y=a_i\mid a_j$

求执行操作后数组元素和的最小值

分析

设 $x=a_1\mid a_2\mid\cdots\mid a_n$ ，$x$ 在执行操作的过程中是不变的

而 $a_1\mid a_2\mid\cdots\mid a_n\leq a_1+a_2+\cdots+a_n$ ，所以元素和的最小值为 $x$ ，考虑如何操作才能取到最小值，对于任意 $i\in[1,n-1]$ 使 $a_i=0,a_{i+1}=a_{i+1}\mid a_i$ 即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        int n, a, res = 0;
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> a;
            res = res | a;
        }
        cout << res << endl;
    }
    return 0;
}

B.Avoid Local Maximums

题目

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，可以执行如下操作：

• 任取一个整数 $i$ ，使 $a_i=x$ ，$x$ 满足 $1\leq x\leq 10^9$

求最少的操作数，使数组不存在局部最大值

局部最大值的定义是：如果 $a_{i-1}<a_i$ 且 $a_i>a_{i+1}$ 那么 $a_i$ 就是局部最大值

分析

当我们找到一个局部最大值 $a_{i-1}$ 时，有 $a_{i-2}<a_{i-1},a_{i-1}>a_i$ ，那么我们可以修改 $a_i$ ，当 $a_{i-1}>a_{i+1}$ 时让 $a_i=a_{i-1}$ ，这样 $a_{i+1},a_{i-1}$ 就都不可能成为局部最大值，当 $a_{i-1}\leq a_{i+1}$ 时让 $a_i=a_{i+1}$ ，同样，$a_{i+1},a_{i-1}$ 都不可能成为局部最大值。所以贪心策略是：$a_{i-1}$ 为局部最大值时使 $a_i=\max(a_{i-1},a_{i+1})$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 200000 + 5;
int a[MAX_N];
int n;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        a[n + 1] = 0;
        int cnt = 0;
        for(int i = 3; i <= n; i++) {
            if(a[i] < a[i - 1] && a[i - 1] > a[i - 2]) {
                a[i] = max(a[i - 1], a[i + 1]);
                cnt++;
            }
        }
        cout << cnt << endl;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            cout << a[i] << ' ';
        cout << endl;
    }
    return 0;
}

C.Differential Sorting

题目

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，可以执行如下操作：

• 任取三个整数 $x,y,z(1\leq x<y<z\leq n)$ ，使 $a_x=a_y-a_z$

求如何操作能使数组变为非减序列，即 $\forall i,a_i\leq a_{i+1}$

不要求操作数最小

分析

考虑序列的最后三个数 $a_n,a_{n-1},a_{n-2}$ ，由上述规则可知 $a_{n-1}$ 和 $a_n$ 无法更改，如果 $a_{n-1}>a_n$ ，那么无论怎么操作都不可能使序列非减

如果 $a_{n-1}\leq a_n$

• 当 $a_n\geq 0$ 时我们可以遵循一个简单的策略：$i=n-2,n-3,\cdots 1$ 时依次执行操作 $(x,y,z)=(i,i+1,n)$ ，那么 $a_i=a_{i+1}-a_n\leq a_{i+1}$
• 当 $a_n<0$ 时 $a_{n-2}$ 只有在 $a_{n-2}\leq a_{n-1}$ 才可保证序列非减，否则 $a_{n-2}=a_{n-1}-a_n>a_{n-1}$ ，同理可推 $a_{n-3},a_{n-4},\cdots a_1$ ，所以只有原序列满足非减时才能进行 $0$ 次操作，否则无论如何操作都不可能使序列非减

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 200000 + 5;
long long a[MAX_N];
int n;

struct node {
    int x, y, z;
} step[MAX_N];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> a[i];
        if(a[n - 1] > a[n]) {
            cout << -1 << endl;
        } else {
            int cnt = 0;
            bool fnd = true;
            for(int i = n - 2; i >= 1; i--) {
                if(a[i] > a[i + 1]) {
                    if(a[n] >= 0) {
                        a[i] = a[i + 1] - a[n];
                        step[++cnt] = {i, i + 1, n};
                    } else {
                        fnd = false;
                        break;
                    }
                }
            }
            if(fnd) {
                cout << cnt << endl;
                for(int i = 1; i <= cnt; i++) 
                   cout << step[i].x << ' ' << step[i].y << ' ' << step[i].z << endl;
            } else {
                cout << -1 << endl;
            }
        }
    }
    return 0;
}

D.Infinite Set

题目

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ ，每个元素互不相同，设集合 $S$ 为包含所有满足以下条件的整数 $x$ ：

1. $x=a_i$
2. $x=2y+1$ 且 $y\in S$
3. $x=4y$ 且 $y\in S$

给定 $p$ ，求 $S$ 中小于 $2^p$ 的元素个数

分析

参考官方题解，推理自然简明：tutorial

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 200000 + 5;
const int MOD = 1e9 + 7;
int n, p, ans = 0;
int a[MAX_N], f[MAX_N], cnt[MAX_N];
set<int> useful;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cin >> n >> p;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        int x = a[i];
        bool flag = false;
        while(x > 0) {
            if(useful.count(x)) {
                flag = true;
                break;
            }
            if(x % 2)
                x /= 2;
            else if(x % 4 == 0)
                x /= 4;
            else
                break;
        }
        if(!flag)
            useful.insert(a[i]);
    }
    for(int x : useful)
        cnt[__lg(x)]++;
    for(int i = 0; i < p; i++) {
        f[i] = cnt[i];
        if(i >= 1)
            f[i] = (f[i] + f[i - 1]) % MOD;
        if(i >= 2)
            f[i] = (f[i] + f[i - 2]) % MOD;
        ans = (ans + f[i]) % MOD;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}