Codeforces Round #770(Div.2) [A~D]

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A.Reverse and Concatenate

题目

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ 和一个整数 $n$ ，用 $rev(s)$ 表示将字符串 $s$ 反转，你可以对 $s$ 执行 $k$ 次如下操作：

• 将 $s$ 变为 $s+rev(s)$
• 将 $s$ 变为 $rev(s)+s$

求可以得到多少个不同的字符串

分析

如果 $s$ 是回文串，那么无论执行哪种操作得到的结果都是一样的，所以执行 $k$ 次操作后得到的不同字符串数为 $1$

如果 $s$ 不是回文串，那么 $k=0$ 时显然答案为 $1$ ，$k\geq1$ 时，第一次操作可以将产生两个不同的回文串，根据上面对于回文串的讨论，答案为 $2$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        string s;
        cin >> s;
        if(k == 0) {
            cout << 1 << endl;
            continue;
        }
        s = ' ' + s;
        bool flag = true;
        for(int i = 1; i <= n / 2; i++) {
            if(s[i] != s[n + 1 - i]) {
                flag = false;
                break;
            }
        }
        cout << (flag ? 1 : 2) << endl;
    }
    return 0;
}

B.Fortune Telling

题目

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a$ 和整数 $x,y$ ，判断 $x$ 和 $x+3$ 进行 $n$ 次如下操作后能否变为 $y$ ，第 $i$ 次操作可以在下面两条中任选一条执行：

• 将当前数字 $d$ 替换为 $d+a_i$
• 将当前数字 $d$ 替换为 $d\oplus a_i$

保证 $x$ 和 $x+3$ 中一定有一个能用适当操作变为 $y$

分析

• 若 $d$ 为偶数
  • $a_i$ 为偶数，无论执行哪种操作 $d$ 奇偶性都不变
  • $a_i$ 为奇数，无论执行哪种操作 $d$ 都会变为奇数
• 若 $d$ 为奇数
  • $a_i$ 为偶数，无论执行哪种操作 $d$ 奇偶性都不变
  • $a_i$ 为奇数，无论执行哪种操作 $d$ 都会变为偶数

所以每一种操作对于奇偶性的改变是相同的，那么判断遍历数组执行操作后 $x,y$ 奇偶性是否相同即可，若不相同则 $x$ 无论如何都不能变为 $y$ ，那 $x+3$ 一定可以

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        long long n, x, y, a;
        cin >> n >> x >> y;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> a;
            if(x % 2 && a % 2) {
                x++;
            } else if(x % 2 == 0 && a % 2) {
                x++;
            }
        }
        cout << (x % 2 == y % 2 ? "Alice" : "Bob") << endl;
    }
    return 0;
}

C.OKEA

题目

给定 $n,k$ 构造一个 $n\times k$ 的矩阵 $a$ ，满足：

• $1$ 到 $n\cdot k$ 的每个整数都出现在矩阵上且仅出现一次
• 对于任意 $i,l,r$ 满足 $a_{i,l},a_{i,l+1},\cdots,a_{i,r}$ 的算术平均值是整数

分析

可以发现任意一行内的奇偶性是相同的，如果一行内既存在奇数又存在偶数，那么一定存在一个奇偶相邻的情况，它们的算术平均值不是整数

若每行的奇偶性都相同，那么可以构造：

$$\left[\begin{array}{ccc} 1 & 3 & \cdots &2k-1\\ 2 & 4 & \cdots & 2k\\2k+1 & 2k+3 & \cdots & 4k-1\\ \vdots & \vdots & \vdots &\vdots\end{array}\right]$$

对任意一段 $i,l,r$ 进行求和，可以用等差数列求和公式，可以发现和一定是 $l+r-1$ 的倍数，那么算术平均值也一定是整数。进一步，可以求出通项公式 $a_{i,j}=2(j+k\lfloor\frac{i-1}{2}\rfloor)-i\bmod 2$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        int n, k;
        cin >> n >> k;
        if((n % 2 && k == 1) || n % 2 == 0) {
            cout << "YES" << endl;
            for(int i = 1; i <= n; i++) {
                for(int j = 1; j <= k; j++)
                    cout << 2 * ((i - 1) / 2 * k + j) - i % 2 << ' ';
                cout << endl;
            }
        } else {
            cout << "NO" << endl;
        }
    }
    return 0;
}

D.Finding Zero

题目

题意较复杂，参考原文 Problem D

分析

考虑一个长度为 $4$ 的序列 $a,b,c,d$ ，不妨设 $a\leq b\leq c\leq d$ ，设 $\overline{a}=\max(b,c,d)-\min(b,c,d)$ ，进行四次询问可得：

$$\overline{a}=d-b\\ \overline{b}=d-a\\ \overline{c}=d-a\\ \overline{d}=c-a$$

易知 $\overline{b},\overline{c}$ 是四次询问中结果最大的且 $c\geq b\geq a$ ，序列中的所有数中只有一个 $0$ 且其他数都大于 $0$ ，所以对于任意一个长度为 $4$ 的序列，询问结果最大的两个数一定不是 $0$ ，那么我们每次处理长度为 $4$ 的序列，排除掉不可能为 $0$ 的两个不可能为 $0$ 的选项，再继续加入两个数，以此类推

这样当给定长度 $n$ 为偶数时，要执行 $\frac{(n-4)}{2}\times 4+4=2n-4$ 次询问，$n$ 为奇数时最后会剩下一个长度为 $3$ 的序列，我们把之前已经排除的某个选项再次加入，使序列长度变为 $4$ ，要执行 $\frac{n-1-4}{2}\times4+2\times 4=2n-2$ 次询问，满足要求

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;
int del;

int query(int a, int b, int c)
{
    cout << "? " << a << ' ' << b << ' ' << c << endl;
    int res;
    cin >> res;
    return res;
}

vector<int> cal(vector<int> v) 
{
    vector<pair<int, int> > t;
    t.push_back({query(v[1], v[2], v[3]), v[0]});
    t.push_back({query(v[0], v[2], v[3]), v[1]});
    t.push_back({query(v[0], v[1], v[3]), v[2]});
    t.push_back({query(v[0], v[1], v[2]), v[3]});
    sort(t.begin(), t.end());
    del = t.back().second;
    return {t[0].second, t[1].second};
}

void solve() 
{
    cin >> n;
    vector<int>v;
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
	 v.push_back(i);
	 if(v.size() == 4)
            v = cal(v);
    }
    if(v.size() == 2) { 
        cout <<"! "<< v[0] << ' ' << v[1] << endl; 
    } else {
	v.push_back(del);
	v = cal(v);
	cout<<"! " << v[0] << ' ' << v[1] << endl;
    }
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    int t;
    cin >> t;
    while(t--) {
        solve();
    }
    return 0;
}