Anti-Nim博弈原理与证明

简介

Anti-Nim博弈是Nim博弈的变形，它的定义是：

给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以任选一堆取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者失败

判断先手是否有必胜策略

推理

先手必胜当且仅当：

1. 每堆的物品数都为 \(1\) 且Nim和为 \(0\)
2. 有些堆的物品数大于 \(1\) 且Nim和不为 \(0\)

证明：

第一种情况：每堆物品数都为 \(1\) 且Nim和为 \(0\) ，那么 \(n\) 为偶数，易知先手必胜

第二种情况：

• 若Nim和不为 \(0\)

  • 若至少还有两堆物品数大于 \(1\) ，那先手一定可以将局势变为至少有一堆物品数大于 \(1\) 且Nim和为 \(0\)

  • 若只有一堆物品数大于 \(1\) ，则先手一定可以将局势变为有奇数个 \(1\)

• 若Nim和为 \(0\)

  至少有两堆物品数大于 \(1\) ，则先手决策完之后，必定至少有一堆物品数大于 \(1\) 且Nim和不为 \(0\) ，由上段的论证我们可以发现， 此时，无论先手如何决策，都只会将游戏带入先手必胜局，所以先手必败

例题

Luogu 4279

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int t, n, a, res, maxx;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        maxx = res = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &a);
            res = res ^ a;
            maxx = max(maxx, a);
        }
        if(maxx == 1)
            printf("%s\n", res == 0 ? "John" : "Brother");
        else
            printf("%s\n", res ? "John" : "Brother");
    }
    return 0;
}