Nimk博弈原理与证明

简介

Nimk博弈是Nim博弈的变形，它的定义是：

给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以从不超过 \(k\) 堆的物品里取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者胜利

判断先手是否有必胜策略

推理

Nim博弈实际上就是 \(k=1\) 的Nimk博弈，考虑Nim博弈的结论：\(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n=0\) 时先手必败，这等价于把所有物品数在某一个二进制位上 \(1\) 的个数相加再模 \(2\) ，若所有结果都为 \(0\) 则先手必败

那么我们进行类比并猜想：计算所有物品数在某一个二进制位上的 \(1\) 的个数再模 \(k+1\) ，若对任意一个二进制位结果都为 \(0\) ，那么先手必败

证明：

• 终止局面每堆物品个数都为 \(0\) ，为必败态

• 对于某个局面，如果存在某些二进制位上 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 不为 \(0\) ，设满足 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 不为 \(0\) 的最高位上有 \(m\) 个 \(1\) ，任取 \(t=m\bmod (k+1)\) 个 \(1\) ，把它们全都变为 \(0\) ，此时改变了 \(t\) 堆，若遇到下一个 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 不为 \(0\) 的二进制位上有 \(r\) 个 \(1\) ，设原先改变的 \(t\) 堆在这一位上有 \(a\) 个 \(1\) 和 \(b\) 个 \(0\)

  • 若 \(a\geq r\bmod (k+1)\) 那么就把 \(r\bmod (k+1)\) 个 \(1\) 变为 \(0\)

  • 若 \(b\geq k+1-r\bmod (k+1)\) 则把 \(k+1-r\bmod (k+1)\) 个 \(0\) 变为 \(1\)

  • 否则，选择原来改变的 \(t\) 堆之外的 \(r\bmod (k+1)-a\) 堆，将 \(1\) 变为 \(0\) ，再将 \(t\) 推中的 \(a\) 个 \(1\) 变为 \(0\) ，那么一共进行了：

    \[a+b+r\bmod (k+1)-a=b+r\bmod (k+1)<k+1 \]

    次变化，符合要求

  所以一定存在一种合法移动，使每个二进制位上 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 都为 \(0\)

• 对于某个局面，如果每个二进制位上 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 都为 \(0\) ，那一定不存在一种合法移动使移动后每个二进制位上 \(1\) 的个数模 \(k+1\) 仍为 \(0\) ，因为这至少要在一位上对 \(k+1\) 个数字进行改变，但最多对 \(k\) 个数字进行改变

例题

POJ 2315

本题是Bash博弈和Nimk博弈的结合，先计算所有子游戏的SG函数值，这等价于Nimk博弈中的每堆物品的物品数，这样就可以用Nimk博弈的结论判断胜负了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;

const double PI = 3.1415926535;
int n, m, l, r, k, maxx;
int s[30 + 5], sg[30 + 5];

int main()
{
    while(scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &l, &r) != EOF) {
        k = l / (2.0 * PI * r);
        maxx = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", &s[i]);
            s[i] = ceil((double)s[i] / (2.0 * PI * r));
            sg[i] = s[i] % (k + 1);
            maxx = max(maxx, sg[i]);
        }
        int len = log2(maxx) + 1;
        bool win = false;
        for(int i = 1; i <= len; i++) {
            int s = 0;
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                s += sg[j] % 2;
                sg[j] /= 2;
            }
            if(s % (m + 1)) {
                win = true;
                break;
            }
        }
        printf("%s\n", win ? "Alice" : "Bob");
    }
    return 0;
}