Nim博弈原理与证明

简介

Nim博弈的定义是：

给定 \(n\) 堆物品，第 \(i\) 堆物品有 \(A_i\) 个，两人轮流取，每次可以任选一堆取走任意多个物品，可以取光但不能不取，最后把物品全部取完者胜利

判断先手是否有必胜策略

推理

证明：当 \(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n\not = 0\) 时先手必胜

• 所有物品被取完是一个必败局面，此时显然有 \(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n = 0\)

• 若 \(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n=x\not = 0\) ，设 \(x\) 的二进制表示下最高的 \(1\) 在第 \(k\) 位，那么至少存在一堆物品 \(A_i\) ，它的第 \(k\) 位是 \(1\) 。而由于 \(A_i\oplus x\) 的第 \(k\) 位为 \(0\) ，更高位与 \(A_i\) 相同，所以 \(A_i\oplus x<A_i\) ，所以我们只需要从 \(A_i\) 中取走若干物品使其变为 \(A_i\oplus x\) ，此时物品数异或和为 \(x\oplus A_i\oplus A_i\oplus x=0\)

• 若 \(A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_n=0\) ，那么无论如何取，得到的异或结果都不为 \(0\) ，用反证法证明，如果 \(A_i\) 被取成了 \(A_i^{'}\) 后异或和为 \(0\) ，那么有：

  \[A_1\oplus A_2\oplus\cdots\oplus A_i^{'}\oplus \cdots \oplus A_n=0\\ \Rightarrow A_1\oplus A_1\oplus\cdots\oplus A_i\oplus A_i^{'}\oplus\cdots\oplus A_n\oplus A_n=0\\ \Rightarrow A_i\oplus A_i^{'}=0,A_i=A_i^{'} \]

  与不能不取物品矛盾

综上，由归纳法可知，命题成立

代码

POJ 2234

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

int main()
{
    int m;
    while(cin >> m) {
        int x, res = 0;
        for(int i = 1; i <= m; i++) {
            scanf("%d", &x);
            res = res ^ x;
        }
        printf("%s\n", res ? "Yes" : "No");   
    }
    return 0;
}