Bash博弈原理与证明

简介

Bash博弈的定义是：

有一堆物品，两人轮流取，每次可以取 \(1\) 到 \(m\) 个物品，最后把物品全部取完者胜利

现在给出初始的物品数 \(n\) 和 \(m\) ，判断先手是否有必胜策略

推理

\(m+1\mid n\) 时必败

Bash博弈的证明十分简单，用归纳法：

• \(n\leq m+1\) 时

  若 \(n=m+1\) 那么先手取完后剩下的物品数范围是 \([1,m]\) ，后手可以直接取完胜利

  若 \(n\leq m\) 那么先手直接取完就能胜利

• 若 \(n\leq k(m+1)\) 时命题成立

  那么 \(k(m+1)<n \leq (k+1)(m+1)\) 时

  若 \(n=(k+1)(m+1)\) 那么先手取完后剩下的物品数范围是 \([k(m+1)+1,k(m+1)+m]\) 后手可以正好取到 \(k(m+1)\) ，由假设得先手必败

  若 \(n<(k+1)(m+1)\) 那么先手可以取到 \(k(m+1)\) ，由假设得此时后手必败先手必胜

证毕

代码

HDU 1846

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--) {
        ll n, m;
        scanf("%lld%lld", &n, &m);
        printf("%s\n", n % (m + 1) ? "first" : "second");
    }
    return 0;
}