AcWing 100 增减序列

题目

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ ，每次可以选择一个区间 $[l,r]$ ，使下标在这个区间内的项都加一或者都减一

求至少需要多少次操作才能使数列中的所有数都一样，并求出在保证最少次数的前提下，最终得到的数列可能有多少种

分析

对于区间加减的问题，可以考虑用差分数列解决

设 $b_i=a_i-a_{i-1}$ ，那么选择一个区间 $[l,r]$ 加 $1$ 就等价于 $b_l+1,b_{r+1}-1$ ，区间减 $1$ 就等价于 $b_l-1,b_{r+1}+1$

所以问题转化为了 从 $b_1,b_2,\cdots,b_{n+1}$ 中任意选出两项，一项加 $1$ ，另一项减 $1$，若干步后使 $b_2=b_3=\cdots=b_n=0$

任选两个项的方法有四种：

• $b_i,b_j,2\leq i,j\leq n$
• $b_1,b_j,2\leq j \leq n$
• $b_i,b_{n+1},2\leq i \leq n$
• $b_1,b_{n+1}$

而第四类方法只会浪费步骤，所以不考虑

第一种方法在一正一负的情况下可以一次改变两个数的值，应该尽可能采取这种方法

当无法采用第一种方法时，可以采用第二种或第三种

设 $p$ 为 $b_1,b_2,\cdots,b_n$ 中的正数项总和， $q$ 为负数项总和的绝对值，即：

$$p=\sum_{i=2}^n \max(b_i,0),q=|\sum_{i=2}^n \min(b_i,0)|$$

正负数配对可执行 $\min(p,q)$ 次方法1，而剩下的数则执行方法2或方法3，一共 $\min(p,q)+|p-q|=\max(p,q)$ 次

根据方法2和方法3的选取情况，能产生 $|p-q| + 1$ 种 $a_1$

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;

int n;
ll a[100000 + 5];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lld", &a[i]);
    ll p = 0, q = 0;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        p += max(a[i] - a[i - 1], 0ll);
        q += abs(min(a[i] - a[i - 1], 0ll));      
    }
    printf("%lld\n%lld\n", max(p, q), abs(p - q) + 1);
    return 0;
}