Luogu P1471 方差

题目

Luogu P1471

维护一个包含 \(n\) 个实数的数列，并有 \(m\) 个操作

操作为以下三种之一：

• 1 x y k 表示将第 \(x\) 到第 \(y\) 项每项加上 \(k\) ，\(k\) 为一实数
• 2 x y 表示求出第 \(x\) 项到第 \(y\) 项这一子数列的平均数
• 3 x y 表示求出第 \(x\) 项到第 \(y\) 项这一子数列的方差

分析

对于操作1和2，只需要用线段树维护数列的和即可

对于操作3，我们可以对方差公式进行变形：

\[\begin{aligned} s^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(A_i-\overline A)^2\\ &=\frac{1}{n}(\sum_{i=1}^nA_i^2-2\overline A\sum_{i=1}^n A_i+n\overline A^2)\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n A_i^2-\overline A^2 \end{aligned} \]

这样问题就转花了如何维护一个数列的平方和，只要在 update 函数上稍加修改即可：

void update(int k, int l, int r, double v)
{
    sum2[k] += (r - l + 1) * v * v + 2 * v * sum1[k];
    sum1[k] += (r - l + 1) * v;
    add[k] += v;
}

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ls(k) k << 1
#define rs(k) k << 1 | 1
using namespace std;

const int MAX_N = 100000 + 5;
double a[MAX_N], sum1[MAX_N * 4], sum2[MAX_N * 4], add[MAX_N * 4];

void build(int k, int l, int r)
{
    if(l == r) {
        sum1[k] = a[l];
        sum2[k] = a[l] * a[l];
        return;
    }
    int m = (l + r) >> 1;
    build(ls(k), l, m);
    build(rs(k), m + 1, r);
    sum1[k] = sum1[ls(k)] + sum1[rs(k)];
    sum2[k] = sum2[ls(k)] + sum2[rs(k)];
}

void update(int k, int l, int r, double v)
{
    sum2[k] += (r - l + 1) * v * v + 2 * v * sum1[k];
    sum1[k] += (r - l + 1) * v;
    add[k] += v;
}

void push_down(int k, int l, int r)
{
    if(add[k] == 0)
        return;
    int m = (l + r) >> 1;
    update(ls(k), l, m, add[k]);
    update(rs(k), m + 1, r, add[k]);
    add[k] = 0;
}

void modify(int k, int l, int r, int x, int y, double v)
{
    if(l >= x && r <= y) {
        update(k, l, r, v);
        return;
    }
    push_down(k, l, r);
    int m = (l + r) >> 1;
    if(x <= m)
        modify(ls(k), l, m, x, y, v);
    if(m + 1 <= y)
        modify(rs(k), m + 1, r, x, y, v);
    sum1[k] = sum1[ls(k)] + sum1[rs(k)];
    sum2[k] = sum2[ls(k)] + sum2[rs(k)];
}

double query1(int k, int l, int r, int x, int y)
{
    if(l >= x && r <= y)
        return sum1[k];
    push_down(k, l, r);
    int m = (l + r) >> 1;
    double res = 0;
    if(x <= m)
        res += query1(ls(k), l, m, x, y);
    if(m + 1 <= y)
        res += query1(rs(k), m + 1, r, x, y);
    return res;
}

double query2(int k, int l, int r, int x, int y)
{
    if(l >= x && r <= y)
        return sum2[k];
    push_down(k, l, r);
    int m = (l + r) >> 1;
    double res = 0;
    if(x <= m)
        res += query2(ls(k), l, m, x, y);
    if(m + 1 <= y)
        res += query2(rs(k), m + 1, r, x, y);
    return res;
}

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%lf", &a[i]);
    build(1, 1, n);
    while(m--) {
        int opt, x, y;
        double k;
        scanf("%d%d%d", &opt, &x, &y);
        if(opt == 1) {
            scanf("%lf", &k);
            modify(1, 1, n, x, y, k);
        } else if(opt == 2) {
            printf("%.4lf\n", query1(1, 1, n, x, y) / (y - x + 1));
        } else {
            double t = query1(1, 1, n, x, y) / (y - x + 1);
            printf("%.4lf\n", query2(1, 1, n, x, y) / (y - x + 1) - t * t);
        }
    }
    return 0;
}