CQOI2014 数三角形

题目

Luogu P3166

给定正整数 \(N,M\) ，计算三点都在 \(N\times M\) 的网格的格点上的三角形有多少个

分析

可以发现，只要三点位于格点且不共线就能形成三角形，考虑计算三点共线的情况：

• 平行于 \(x\) 轴共线：

  每行有 \(m+1\) 个点，共 \(n+1\) 行，所以有 \((n+1)\times\displaystyle\binom{m+1}{3}\) 种情况

• 平行于 \(y\) 轴共线：

  每列有 \(n+1\) 个点，共 \(m+1\) 列，所以有 \((m+1)\times\displaystyle\binom{n+1}{3}\) 种情况

• 与 \(x,y\) 轴都不平行的共线：

  设 \(AB\) 平行于 \(x\) 轴且 \(|AB|=i\) ， \(AC\) 平行于 \(y\) 轴且 \(|AC|=j\) ，共线的三点中 \(B,C\) 为两个端点，那么 \(B,C\) 之间的格点数为 \(\gcd(i,j)+1\) ，所以共线的第三点有 \(\gcd(i,j)-1\) 种情况，易知形成 \(AB,AC\) 的有 \((n+1-i)\times(m+1-j)\) ，所以斜共线的总情况数为：

  \[2\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m (n+1-i)(m+1-j)[\gcd(i,j)-1] \]

综上，算出总和 \(\displaystyle\binom{(n+1)(m+1)}{3}\) 再减去上述三种反面情况即可

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    return a % b == 0 ? b : gcd(b, a % b);
}

int main()
{
    int n, m;
    long long ans;
    cin >> n >> m;
    n++;
    m++;
    ans = 1ll * (n * m) * (n * m - 1) * (n * m - 2) / 6;
    ans -= 1ll * m * n * (n - 1) * (n - 2) / 6;
    ans -= 1ll * n * m * (m - 1) * (m - 2) / 6;
    for(int i = 1; i < n; i++)
        for(int j = 1; j < m; j++)
            ans -= 2ll * (n - i) * (m - j) * (gcd(i, j) - 1);
    cout << ans << endl;
    return 0;
}