实变分析，第一章，集合

一，集合的运算

1，用集合描述数学语言，存在--并集，任意--交集。

 

 2，集合的上极限和下极限：

集合的上极限和下极限，说的是一组无穷多的集合组，所构成的集合，这些集合的交集就是集合的上限，集合的并集就是集合的下限，集合的上下限也是集合，显然上限包含下限。

有很多简单的数学语言，用集合来表示，比如极限，虽然现在的表达显得臃肿且不直观，但是这个描述体系用到后来复杂的问题，应该会有其高效的地方。

3，An是一列集合，不是一个集合

 

3、集合的收敛

集合的上下限相等，就是集合收敛，这里把集合当成了一个对象，或者一个矩阵，或者一个向量来研究，而不是单个数

 

4，单调集列

单调集列是收敛的，

5，集合的直积：就是将两个集合的元素，张成不同空间

6，A/B=A-B

 

 

二，对等与基数

1，双映射：即是单射，又是满射

2，两个非空集合的双射，是对等A~B

3，一个范围小的集合，可以映射到范围大的集合

 

 4，对等的集合有相同的基数

 

三 ，可数集合

 

1，可数集合，是无限集合

2，只有和全体正整数对等的集合才是可数集合，就是无限多个，并且元素可以编号的集合

3，有理数是可数集，也就是说，和正整数一一对应，那么正有理数和全体有理数也是对等的

4， 整数集竟然和正整数集都是可数集合，都可以一一对应，这太反直觉了，让人无法理解，是不是可以这样理解，可数集是元素都确定的集合，而不可数集，是无法一一列出的集合，比如实数集 

 

 

 

四，不可数集合

1，全体实数，是一个不可数集合

2，a为可数集的基数，c为不可数的基数，=》c>a

3, 无限个不可数集合的交集，是无限极，基数为c

4，无限个不可数的直积是无限集，基数是c，因为虽然不可数集合是不可描述的，但是通过直积组成的空间坐标顺序是可描述的，相当于不可描述个可数数列的并集。

5，欧式空间，就是线性空间

6，无限个有限集合{0,1}的直积的基数是c，每个维度的长度是无限的，也就是无限维，而无限维，可以和（0,1）双射。用能二进制向无理数映射。

7，要用可数集合描述数学问题，无穷小，可以用有理数来表示

 

 

 8，例3，用任意替换和递推的方法证明

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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