最长递减子序列

问题描述

求一个数组的最长递减子序列比如{9，4，3，2，5，4，3，2}的最长递减子序列为{9，5，4，3，2}。

问题分析

本问题类似编程之美中的求数组中最长递增子序列问题。可以利用动态规划方法解决。

假设在目标数组array[]的前i个元素中，最长递减子序列的长度为LDS[i]。那么

  LDS[i+1] = max{1,LDS[k]+1}，其中array[i+1]<array[k]，for any k<=i。

即如果array[i+1]<array[k]，那么第i+1个元素可以添加到LDS[k]长的子序列后构成一个更长的递减子序列。与此同时，

array[i+1]可以由自身构造成一个长度为1的子序列。

所以代码清单为：

 for (int i = 0; i < len; i++) {
            LDS[i] = 1;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                // LDS[i+1]=max{1,LDS[k]+1}, array[i+1]<array[k],for any k<=i;
                if (array[i] < array[k] && LDS[k] + 1 > LDS[i]) {
                    LDS[i] = LDS[k] + 1;
                }
            }
        }

在获取到LDS数组后，遍历数组，获取构成最长递减子序列的元素。

print(int[] array, int[] lds, int max, int end) {
        if (max == 0)
            return;
        int i = end;
        while (lds[i] != max)
            i--;
        print(array, lds, max - 1, i - 1);
        System.out.print(array[i] + "");
    } 

实现代码

public class LDSProblem {
    public static void maxSubstrDecrease(int[] array) {
        // 数组array中的前i个元素中，最长递减子序列的长度是LDS[i]
        int len = array.length;
        int[] LDS = new int[len];
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            LDS[i] = 1;
            for (int k = 0; k < i; k++) {
                // LDS[i+1]=max{1,LDS[k]+1}, array[i+1]<array[k],for any k<=i;
                if (array[i] < array[k] && LDS[k] + 1 > LDS[i]) {
                    LDS[i] = LDS[k] + 1;
                }
            }
        }
        max = maxsub(LDS);
        System.out.println("最长递减子序列的长度为:" + max);
        System.out.println("LDS数组为:");
        print(LDS);
        System.out.print("最长递减子序列为:\n");
        print(array, LDS, max, len - 1);
    }

    // max:最长子序列长度
    // end:最长递减子序列中的最后一个元素
    // lds:数组array中的前i个元素中，最长递减子序列的长度数组
    private static void print(int[] array, int[] lds, int max, int end) {
        if (max == 0)
            return;
        int i = end;
        while (lds[i] != max)
            i--;
        print(array, lds, max - 1, i - 1);
        System.out.print(array[i] + " ");
    }

    private static void print(int[] array) {
        for (int i = 0; i < array.length; i++) {
            System.out.print(array[i] + "  ");
        }
        System.out.println();
    }

    public static int maxsub(int[] LDS) {
        int m = 0;
        for (int i = 0; i < LDS.length; i++) {
            if (LDS[i] > m)
                m = LDS[i];
        }
        return m;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int[] array = new int[] { 9, 4, 3, 2, 5, 4, 3, 2 };
        /*        System.out.println("数组为:");
         print(array);*/
        maxSubstrDecrease(array);
    }
}