多项式全家桶
多项式全家桶学习
多项式乘法
用DFT将系数表达式转为点值表达式，\(O(n)\)乘法，再IDFT回去即可
多项式求逆
给定多项式\(A(x)\)，求\(B(x)\)满足\(A(x)B(x)\equiv1(mod x^n)\)
考虑倍增
不妨假设\(n=2^k\)
- 当\(n=1\)时，\(B(x)=A(x)^{p-2}\)
- 当\(n>1\)时，已有\(A(x)B'(x)\equiv1(mod x^{\frac{n}{2}})\)
\[A(x)B(x)\equiv1(mod x^n)
\]
显然有
\[A(x)B(x)\equiv1(mod x^{\frac{n}{2}})
\]
又因为
\[A(x)B'(x)\equiv1(mod x^{\frac{n}{2}})
\]
则
\[A(x)(B(x)-B'(x))\equiv1(mod x^{\frac{n}{2}})
\]
所以
\[B(x)-B'(x)\equiv 0(mod x^{\frac{n}{2}})
\]
前n/2项都为0，那么平方后就有
\[B(x)^2-2B(x)B'(x)+B'(x)^2\equiv0(mod x^n)
\]
两边同乘\(A(x)\)，整理，有
\[B(x)\equiv2B'(x)+A(x)B'(x)^2(mod x^n)
\]
递归/自下而上递推即可
多项式求导、积分
求导
\[\frac{\mathbb{d}(\sum\limits_{k=0}^{n-1}a_k x^k)}{\mathbb{d} x}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\mathbb{d}(a_k x^k)}{\mathbb{d} x}=\sum_{k=1}^{n-1}k a_k x^{k-1}=\sum_{k=0}^{n-2}(k+1)a_{k+1}x^k
\]
积分
\[\int\sum_{k=0}^{n-1}a_k x^k \mathbb{d}x=\sum_{k=0}^{n-1}\int a_k x^k\mathbb{d}x=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}=\sum_{k=1}^n\frac{a_{k-1}}{k}x^k
\]
多项式求ln
已知\(A(x)\)，求\(B(x)=ln(A(x))\)
对两边求导，得到
\[B'(x)=\frac{A'(x)}{A(x)}
\]
两边积分，则有
\[B(x)=B(x)=\int\frac{A'(x)}{A(x)}\mathbb{d}x
\]
求导+积分+求逆解决
