多重背包问题：悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活（HDU 2191）(二进制优化)

悼念512汶川大地震遇难同胞——珍惜现在，感恩生活 HDU 2191

一道裸的多重背包问题：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int dp[10005],a[10005],b[10005],c[10005];
int main()
{
    int t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&m,&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d%d%d",&a[i],&b[i],&c[i]);
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=1;j<=c[i];j++)
            for(int k=m;k>=a[i];k--)
                if(dp[k]<dp[k-a[i]]+b[i])
                    dp[k]=dp[k-a[i]]+b[i];
        printf("%d\n",dp[m]);
    }
    return 0;
}

 对于多重背包，可以用二进制来优化！

摘自：二级制分解思想详解

 在这之前，我空间好像转过一个背包九讲，现在我就只对  
    01背包和多重背包有点印象了  
  
    先说下 01 背包，有n 种不同的物品，每个物品有两个属性  
    size 体积，value 价值，现在给一个容量为 w 的背包，问  
    最多可带走多少价值的物品。  
  
    int f[w+1];   //f[x] 表示背包容量为x 时的最大价值  
    for (int i=0; i<n; i++)  
        for (int j=w; j>=size[i]; j++)  
            f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  
  
    如果物品不计件数，就是每个物品不只一件的话，稍微改下即可  
    for (int i=0; i<n; i++)  
        for (int j=size[i]; j<=w; j++)  
            f[j] = max(f[j], f[j-size[i]]+value[i]);  
  
    f[w] 即为所求  
  
    初始化分两种情况  
    1、如果背包要求正好装满则初始化 f[0] = 0, f[1~w] = -INF;  
    2、如果不需要正好装满 f[0~v] = 0;  
  
    多重背包问题要求很简单，就是每件物品给出确定的件数，求  
    可得到的最大价值  
  
    多重背包转换成 01 背包问题就是多了个初始化，把它的件数C 用  
    分解成若干个件数的集合，这里面数字可以组合成任意小于等于C  
    的件数，而且不会重复，之所以叫二进制分解，是因为这样分解可  
    以用数字的二进制形式来解释  
    比如：7的二进制 7 = 111 它可以分解成 001 010 100 这三个数可以  
    组合成任意小于等于7 的数，而且每种组合都会得到不同的数  
    15 = 1111 可分解成 0001  0010  0100  1000 四个数字  
    如果13 = 1101 则分解为 0001 0010 0100 0110 前三个数字可以组合成  
    7以内任意一个数，加上 0110 = 6 可以组合成任意一个大于6 小于13  
    的数，虽然有重复但总是能把 13 以内所有的数都考虑到了，基于这种  
    思想去把多件物品转换为，多种一件物品，就可用01 背包求解了。  
  
  
    看代码：  
    int n;  //输入有多少种物品  
    int c;  //每种物品有多少件  
    int v;  //每种物品的价值  
    int s;  //每种物品的尺寸  
    int count = 0; //分解后可得到多少种物品  
    int value[MAX]; //用来保存分解后的物品价值  
    int size[MAX];  //用来保存分解后物品体积  
  
    scanf("%d", &n);    //先输入有多少种物品，接下来对每种物品进行分解  
  
    while (n--) {   //接下来输入n中这个物品  
        scanf("%d%d%d", &c, &s, &v);  //输入每种物品的数目和价值  
        for (int k=1; k<=c; k<<=1) { //<<右移 相当于乘二  
            value[count] = k*v;  
            size[count++] = k*s;  
            c -= k;  
        }  
        if (c > 0) {  
            value[count] = c*v;  
            size[count++] = c*s;  
        }  
    }  
  
    现在用count 代替 n 就和01 背包问题完全一样了 

接下是实战：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
#include<stdio.h>
using namespace std;
int dp[105],a1[1005],b1[1005];//数组开大点
int main()
{
    int cout1,t,n,m,a,b,c,i,j,k;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        cout1=0;
        for(i=0;i<m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            for(k=1;k<=c;k<<=1)
            {
                a1[cout1]=k*a;
                b1[cout1++]=k*b;
                c-=k;
            }
            if(c>0)
            {
                a1[cout1]=c*a;
                b1[cout1++]=c*b;
            }
        }
        memset(dp,0,sizeof(dp));
        for(i=0;i<cout1;i++)
            for(j=n;j>=a1[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-a1[i]]+b1[i]);
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}