01背包问题：Charm Bracelet （POJ 3624）（外加一个常数的优化）

Charm Bracelet    POJ 3624

就是一道典型的01背包问题：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[3405],b[3405];
int c[12888];
int main()
{
    int n,m,i,j;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=m;j>=a[i];j--)
            if(c[j]<c[j-a[i]]+b[i])
            c[j]=c[j-a[i]]+b[i];
        printf("%d\n",c[m]);
    }
    return 0;
}

 还有一种方法，使用一个简单的技巧：滚动数组（DP中常用的：优化内存）

1.4初始化的细节问题
我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0]为0，其它F[1..V]均设为−∞，这样就可以保证最终得到的F[V]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将F[0..V]全部设为0。
这是为什么呢？可以这样理解：初始化的F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可以在什么也不装且价值为0的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。
这个小技巧完全可以推广到其它类型的背包问题，后面不再对进行状态转移之前的初始化进行讲解。(这个理解较易)
1.5一个常数优化
上面伪代码中的
fori←1toN
forv←VtoCi

中第二重循环的下限可以改进。它可以被优化为
fori←1toN
forv←Vtomax(V−ΣNiWi,Ci)
这个优化之所以成立的原因请读者自己思考。（提示：使用二维的转移方程思考较易。）

这个较容易理解：

那个常数优化不错，之可惜他打错了（有点怀疑）

由于只需要最后f[v]的值，倒推前一个物品，其实只要知道f[v-w[n]]即可。以此类推，对以第j个背包，其实只需要知道到f[v-sum{w[j..n]}]即可，即代码中的

for i=1..N
for v=V..0

可以改成

for i=1..n
bound=max{V-sum{c[i..n]},c[i]}
for v=V..bound

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
int a[3405],b[3405];
int c[12888];
int sum[3405],sb;
int main()
{
    int n,m,i,j;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        sum[n]=a[n];
        for(i=n-1;i>=1;i--)
            sum[i]=a[i]+sum[i+1];
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=m,sb=max(m-sum[i],a[i]);j>=sb;j--)
            if(c[j]<c[j-a[i]]+b[i])
            c[j]=c[j-a[i]]+b[i];
        printf("%d\n",c[m]);
    }
    return 0;
}