数据结构-关于各种树的详细编程总结（二叉树、BST查找树、AVL平衡树、完全二叉树、并查集、堆）C++
一、关于建树
- 可以使用二叉链表, 一般用来二叉树的建树，同时创建树的时候，要使用new node，递归边界一般为root == NULL。建树的函数也要使用node* create(){}
struct node{
int id;
node* l;
node* r;
};
- 静态二叉树的建立, 适合于直接根据下标作为指针进行建树，简单。
struct node{
int l, r;
}Node[MAXV];
- 关于树的建立，有如下两种，要使用结构体，是因为要保存相关结点信息的情况，否则可以直接使用vector
v[MAXN];进行建树，一般使用DFS进行遍历
struct node{
int id;
vector<int> sub;
};
vector<int> Node[MAXV];
二、关于树的遍历
1. DFS
void DFS(int root, int layer){
if(递归边界){
return；
}
for(int i = 0; i < 子树的数量; i++){
DFS(root, layer + 1);
}
}
2.BFS()实质就是层序遍历
void BFS(int root){
queue<int> q;
q.push(root);
while(!q.empty()){
node* now = q.front();
进行操作，对于该结点，可以用一个vector将其存起来
if(左右结点不空) q.push(左右结点编号)
}
}
3.先序、中序和后序遍历
void pre(int root){
if(递归边界){
return;
}
对该结点进行操作，可以使用vector进行存储。
pre(左子树结点)；
pre(右子树结点)
}
三、关于各种树的一些操作
1. 二叉树-已知中序和前序或中序和后序，进行树的创建
node* create(int inL, int inR, int preL, int preR){
if(inL > inR) return NULL;
node* root = new node;
root->v = pre[preL];
int k = inL;
while(pre[preL] != in[k]) k++;
int num = k - inL;
root->l = create(inL, k - 1, preL + 1, preL + num);
root->r = create(k + 1, inR, preL + num + 1, preR);
return root;
}
2. BST二叉查找树
- 创建、查找、以及各种遍历；
- 创建的时候，如果值小于等于左子树，然后往左边树插入
void insert(node* &root, int data){
if(root = NULL){
root = new node;
root->data = data;
root->l = root->r = NULL;
return;
}
//<=
if(data <= root->data) insert(root->l, data);
else insert(root->r, data);
}
- 如果想遍历的结果存储起来，可以直接传入一个引用的vector向量数组；
- 关于镜像的问题，也就是遍历的时候直接将左右子树的操作顺序进行调换即可；
- 关于删除问题：
node* findMin(node* root){
while(root->l != NULL){
root = root->l;
}
return root;
}
node* findMax(node* root){
while(root->r != NULL){
root = root->r;
}
return root;
}
void deleteNode(node* &root, int x){
if(root == NULL) return;
if(root->data == x){
if(root->l == NULL && root->r == NULL){
root = NULL;
}else if(root->l != NULL){
node* pre = findMax(root->l);
root->data = pre->data;
deleteNode(root->l, pre->data);
}else{
node* next = findMin(root->r);
root->data = next->data;
deleteNode(root->r, next->data);
}
}else if(root->data < x){
deleteNode(root->l, x);
}else{
deleteNode(root->r, x);
}
}
3. 完全二叉树与查找树的结合
- 完全二叉树的性质是左右子树下标分别为2 x index， 2 x index + 1;
- 根结点下标为1，完全二叉树到空结点的标志为当前结点编号root大于结点个数n；
- 二叉查找树的中序遍历是从小到大的，然后根据完全二叉树的结点性质，可以进行建树，然后该数组直接输出便是层序遍历的结果；
- 判断完全二叉树的某个结点root是否为叶子结点的标志为：该结点的左子树的编号root * 2 大于总结点的个数n；
- 也要会提前使用一个数组将二叉树结点的值存好，然后使用Node[len++] 的方式进行赋值；
- 关于如何判断二叉树是否为完全二叉树，可以进行层序遍历，然后出现子树为空后，再出现子树不为空的情况，那么就说明不是完全二叉树，一般设置变量isComplete = 1， after = 0 :
vector<int> level;
int isComplete = 1, after = 0;
void BFS(node* root){
queue<node*> q;
q.push(root);
while(!q.empty()){
node* now = q.front();
level.push_back(now->data);
q.pop();
if(now->l != NULL){
if(after) isComplete = 0;
q.push(now->l);
}else{
after = 1;
}
if(now->r != NULL){
if(after) isComplete = 0;
q.push(now->r);
}else{
after = 1;
}
}
}
- 遍历完全二叉树到叶子结点的所有路径，按照一定的顺序打印输出，使用push_back()和pop_back()进行深度回溯遍历：但是，要记得将第一个根结点先插入v数组中；
//按照先右子树然后左子树的遍历顺序进行遍历输出结果；
void dfs(int index){
if(index * 2 > n){
if(index <= n){//是为了考虑完全二叉树可能出现只有一个左子树的现象
for(int i = 0; i < v.size(); i++){
printf("%d%s", v[i], v.size() - 1 != i ? " " : "\n");
}
}
}else{
v.push_back(a[index * 2 + 1]);
dfs(index * 2 + 1);
v.pop_back();
v.push_back(a[index * 2]);
dfs(index * 2);
v.pop_back();
}
}
4. AVL树
基本构成函数：
struct node{
int data, height;
node* l;
node* r;
};
node* newNode(int v){
node* root = new node;
root->data = v;
root->height = 1;
root->l = root->r = NULL;
return root;
}
- 当结点为NULL时，返回的高度应该为0，这一句不能省
int getH(node* root){
if(root == NULL) return 0;
return root->height;
}
int getB(node* root){
return getH(root->l) - getH(root->r);
}
void updateH(node* root){
root->height = max(getH(root->l), getH(root->r)) + 1;
}
左旋与右旋
- 记住口诀，左旋为，临创建赋值根右根右临左临左赋值为根；右旋为，临创建赋值根左根左临右临右赋值为根，然后更新高度先根后临，最后根赋值临；
- 传参有引用别忘记
void L(node* &root){
node* temp = root->r;
root->r = temp->l;
temp->l = root;
updateH(root);
updateH(temp);
root = temp;
}
void R(node* &root){
node* temp = root->l;
root->l = temp->r;
temp->r = root;
updateH(root);
updateH(temp);
root = temp;
}
关于各种平衡因子下需要调整的问题 ：
-
- 如果是平衡因子为BF(root) = 2, BF(root->left) = 1,说明为LL型，对root进行右旋即可;
-
- 如果是平衡因子为BF(root) = 2, BF(root->right) = -1,说明为LR型，先对左子树进行左旋，然后再对当前结点进行右旋;
-
- BF(root) = -2, BF(root-right) = -1, 为RR型，进行左旋即可;
-
- BF(root) = -2, BF(root-right) = 1, 为RL型，先对右子树进行右旋，然后进行左旋即可;
void insert(node* &root, int v){
if(root == NULL){
root = newNode(v);
return;
}
if(v < root->data){
//注意这里是插入左子树后，更新根结点高度
insert(root->left, v);
updateH(root);
if(getB(root) == 2){
if(getB(root->left) == 1){
R(root);
}else if(getB(root->left) == -1){
L(root->left);
R(root);
}
}
}else{
insert(root->right, v);
updateH(root);
if(getB(root) == -2){
if(getB(root->right) == -1){
L(root);
}else if(getB(root->right) == 1){
R(root->right);
L(root);
}
}
}
}
5. 并查集
- 初始化：
const int MAXV = 10010;
int father[MAXV];
int course[MAXV] = {0};
int isRoot[MAXV] = {0};
void init(){
for(int i = 1; i <= n; i++){
father[i] = i;
}
}
- 查找：
int findFather(int x){
int a = x;
while(x != father[x]){
x = father[x];
}
while(a != father[a]){
int z = a;
a = father[a];
father[z] = x;
}
return x;
}
- 合并：
void Union(int a, int b){
int faA = findFather(a);
int faB = findFather(b);
if(faA != faB){
father[faA] = faB;
}
}
几点核心思想：
- 关于初始化的问题，可以把所有下标设置称为从1开始到n；
- 所有问题都可以转化为设置三个数组，一个是集合数组father，用于存储集合，也就是从1~n;
- bool vis[] 数组可以用来记录所有集合，便于后面使用int isRoot[] 数组进行类别数量的统计；
- 要区分题目中想要查询的意思来进行isRoot的利用；
6. 堆
建堆的几个关键函数：
- 向下调整函数: 原理解释，就是把当前结点跟其左右子树结点的值进行比较，如果发现比其中之一小，那么就交换，直到其比左右子树结点的值大；
void downAjust(int low, int high){
int i = low, j = 2 * i;
while(j <= high){
if(j + 1 <= high && heap[j] < heap[j + 1]){
j = j + 1;
}
if(heap[i] < heap[j]){
swap(heap[i], heap[j]);
i = j;
j = 2 * i;
}else{
break;
}
}
}
- 建堆： 原理解释，将序列heap[N]，因为具备完全二叉树的性质，那么知道叶子结点是N/2之后的值，我们只需要将1~N/2非叶子结点，从后往前进行向下调整，即可保证以当前结点为根结点的值，一定是最大值；
void createHeap(){
for(int i = N / 2; i >= 1; i--){
downAjust(i, N);
}
}
- 删除堆顶元素： 原理解释，将堆序列中的最后一个元素覆盖掉堆顶元素，然后进行向下调整即可；
void delete(){
heap[1] = heap[n--];
downAjust(1, n);
}
- 向上调整函数： 原理解释，也就是将当前序列中的最后一个结点，将其与父节点进行比较，如果发现比它大，那么两者交换；
void upAjust(int low, int high){
int i = high, j = i / 2;
while(j >= low){
if(heap[i] > heap[j]){
swap(heap[i], heap[j]);
i = j;
j = i / 2;
}else{
break;
}
}
}
- 插入函数： 原理解释，将一个结点插入堆中，首先将其放置在堆的末尾元素，然后使用向上调整函数即可；
void insert(int v){
heap[++n] = v;
upAjust(1, n);
}
- 堆排序： ，首先进行建堆，然后原理是，每次将堆首元素与末尾元素进行交换，放置在末尾，也就是将堆中的最大值放在序列的最后，然后使用向下调整函数进行调整；
void heapSort(){
createHeap();
for(int i = n; i > 1; i--){
swap(heap[i], heap[1]);
downAjust(1, i-1);
}
}
关于堆的编程总结：
- 一个是判断堆是大顶堆还是小顶堆以及不是堆，使用方法主要有两种，一个是首先定义变量int Min = 1， Max = 1；然后堆的序列从第二个元素开始判断如果，出现当前顶点值小于父节点的值，那么将Min = 0，如果出现当前顶点大于父节点的值，那么将Max = 0；最后判断输出：
int isMax = 1, isMin = 1;
int a[1009];
for(int i = 2; i <= n; i++){
if(a[i/2] > a[i]) isMin = 0//如果父节点比当前结点大，就不是小顶堆；
if(a[i/2] < a[i]) isMax = 0;//如果父节点比当前结点小，就不是大顶堆；
}
最后结果如果isMax 和isMin都是0，那么说明不是堆。
7. LCA(二叉树)
- 第一步根据题目进行建树;
struct node{
int v;
node* l;
node* r;
};
vector<int> pre, in;
node* create(int inL, int inR, int preL, int preR){
if(inL > inR) return NULL;
node* root = new node;
root->v = pre[preL];
int k = inL;
while(pre[preL] != in[k]) k++;
int num = k - inL;
root->l = create(inL, k - 1, preL + 1, preL + num);
root->r = create(k + 1, inR, preL + num + 1, preR);
return root;
}
- 然后使用dfs函数进行查找;
- lca使用记录最近公共祖先的，bool类型的f1和f2 用来看所给结点是否在树中可以找到;
int lca = -1;
bool f1 = false, f2 = false;
int search(node* root, int u, int v, bool &f1, bool &f2){
if(root == NULL) return 0;
int cnt = search(root->l, u, v, f1, f2) + search(root->r, u, v, f1, f2);
if(root->v == u){
f1 = true;
cnt++;
}
if(root->v == v){
f2 = true;
cnt++;
}
if(lca == -1 && cnt == 2){
lca = root->v;
}
return cnt;
}
- 最后根据题目要求进行输出
int main(){
int n, m, d;
cin >> m >> n;
for(int i = 0; i < n; i++){
scanf("%d", &d);
pre.push_back(d);
in.push_back(d);
}
sort(in.begin(), in.end());
node* root = create(0, n-1, 0, n-1);
int a, b;
for(int i = 0; i < m; i++){
scanf("%d%d", &a, &b);
lca = -1;
f1 = false, f2 = false;
int cnt = search(root, a, b, f1, f2);
if(!f1 && !f2){
printf("ERROR: %d and %d are not found.\n", a, b);
continue;
}else if(!f1 && f2){
printf("ERROR: %d is not found.\n", a);
continue;
}else if(!f2 && f1){
printf("ERROR: %d is not found.\n", b);
continue;
}
if(lca == b){
printf("%d is an ancestor of %d.\n", b, a);
continue;
}else if(lca == a){
printf("%d is an ancestor of %d.\n", a, b);
continue;
}else{
printf("LCA of %d and %d is %d.\n", a, b, lca);
}
}
return 0;
}
作者：睿晞
身处这个阶段的时候，一定要好好珍惜，这是我们唯一能做的，求学，钻研，为人，处事，交友……无一不是如此。
劝君莫惜金缕衣，劝君惜取少年时。花开堪折直须折，莫待无花空折枝。
曾有一个业界大牛说过这样一段话，送给大家：
“华人在计算机视觉领域的研究水平越来越高，这是非常振奋人心的事。我们中国错过了工业革命，错过了电气革命，信息革命也只是跟随状态。但人工智能的革命，我们跟世界上的领先国家是并肩往前跑的。能身处这个时代浪潮之中，做一番伟大的事业，经常激动的夜不能寐。”
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