2021 年 12月随笔档案 - tsrigo

摘要：博弈论—Nim游戏题目描述给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿走任意数量的石子（可以拿完，但不能不拿），最后无法进行操作的人视为失败。问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。原型公平组合游戏ICG 若一个游戏满足: 由两名玩家交替行动; 在游戏进程的任意时刻，

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摘要：容斥原理原型求n个相交的集合的元素总个数原理例如：证明设元素x在所有集合中出现了k次，然后写出等式，应用组合数恒等式例题给定一个整数 n 和 m 个不同的质数 p1, p2, …,pm。请你求出 1∼n 中能被 p1, p2, …,pm 中的至少一个数整除的整数有多少个。例子如

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摘要：卡特兰数模型给定 n个 0 和 n 个 1，它们将按照某种顺序排成长度为 2n 的序列，求它们能排列成的所有序列中，能够满足任意前缀序列中 0 的个数都不少于 1 的个数的序列有多少个。几何意义对于每一个序列，我们定义 0：向右走一格 1：向左走一格于是每一个长度为 2n 的序列都对应了坐

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摘要：中国剩余定理解方程组：

x \equiv a_{1} (\mod m_{1}) x \equiv a_{2} (\mod m_{2}) . . . x \equiv a_{k} (\mod m_{k}) 其 中 m_{1}, m_{2} . . . m_{k} 两 两 互 质

$x \equiv a_1 \pmod {m_1} \\ x \equiv a_2 \pmod {m_2} \\ ... \\ x \equiv a_k \pmod {m_k} \\ 其中m_1, m_2...m_k两两互质$ 记 \[ M = \prod^{k}_

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摘要：拓展欧几里得算法作用：

\forall a, b \in Z, 求 出 x, y, 使 得 a x + b y = (a, b)

${\forall}a, b\in Z, 求出x,y,使得ax + by = (a, b)$ 实现：我们可以改造欧几里得算法： int gcd(int a, int b){ if (!b){ return a; } return gcd(b, a % b); }

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摘要：求逆元：

解 b x \equiv 1 (\mod p)

${解 b x \equiv 1\pmod{p}}$ 当b和p不互质时，bx一定是p的倍数，模p一定为0（不为1），此方程无解；当b和p互质，p是质数时，可以由费马小定理得： \[ \begin{gather*} b^{p - 1} \equiv 1\pmod {p} \\ 即b

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