高数第二章——导数与微分总结

即将小考，趁机总结一波

目录

• 第一节 导数的概念
  • 一、导数的定义
    • ①三种算法（单侧导数同理）
      • 注意点
    • ② 几何意义
    • ③可导与连续
    • ④一些概念
  • 二、导数的求导法则
    • ①四则运算
    • ②反函数的求导法则
    • ③复合函数的求导法则
    • ④高阶导数
    • ⑤隐函数
    • ⑥由参数方程确定的函数
      • 相关变化率
  • 三、微分
    • • 研究对象：函数值的增量$\Delta y$
      • 思想——局部线性化：用一个线性函数在局部代替非线性函数；用切线段在局部代替曲线段
      • 可微是可导的充要条件
    • 复合函数的微分法则
    • 函数的近似
  • 后记

第一节 导数的概念

一、导数的定义

我对导数的理解是，导数是对一个函数从平均变化率到瞬时变化率的一个逼近，蕴含着极限的思想。

①三种算法（单侧导数同理）

1. $\lim\limits_{x\to x_0} \frac { f(x) - f(x_0) }{ x - x_0 }$
   常用于证明f(x)在某一点可导，或者用于求f(x)在某一点的导数值（可能对f(x)无法直接求导）

2. $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac {\Delta y} {\Delta x}$
   常用于抽象函数

3. $\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$或$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
   定义法求某个函数的导函数（x看作是常数）

注意点

1. ${\Delta x}$可以替换成一个函数，但要保证它也能趋于0，并且不受限制（比如不能是正无穷趋于${0^+}$)，还要和分母完全一样。
2. 在没有特殊说明的情况下，分母必须含有${f(x_0)}$这一项，以防止${f(x)}$在${x_0}$处不连续。
3. |x|在零点处不可导，但是|x|x在零点处可导。(好像还有个)

一个比较奇特的导数：${\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(0 - x) - f ( 0 )}{0-x}}$ = ${\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(- x) - f ( 0 )}{-x}}$ = ${f'(0)}$

详见习题总2.3

p.s. 在某点处的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等。
反之任一左右导数不存在或者它们不相等则函数在该点处导数不存在。

② 几何意义

某一点的导数即函数在该点处的切线的斜率。
导数存在是切线存在的充分不必要条件。

③可导与连续

连续是可导的必要不充分条件。
反之若函数在某点处不连续，则函数在这一点不可导。

证明：利用极限与无穷小的关系

p.s 一个有意思的例子：${y =\sqrt{ x ^ 2} }$，为什么不直接写${\mid x \mid}$呢，因为要说明绝对值函数是由${\sqrt{x}}$和${x^2}$两个基本初等函数复合而成的初等函数，进而说明它在${x=0}$处连续。

④一些概念

导数存在：导数能求出来
导数不存在：在这点不连续或导数趋于无穷大

${\lim\limits_{n\rightarrow\infty}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}}$

二、导数的求导法则

①四则运算

证明： 利用$\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$，乘除法还要利用插项构造出${f'(x)}$和${g'(x)}$，同时用到了“可导必连续——${\lim\limits_{\Delta x \to 0}{f(x + \Delta x) = f(x)} }$”

记住每次求导前一定要先化简，不要盲目四则运算

②反函数的求导法则

证明：较复杂，多看书
结论：反函数的导数，等于直接函数导数的倒数
注意最后的结果y要换成x

p.s. 带有“正”的三角函数，倒数都为正，“余”则都为负。

③复合函数的求导法则

证明：非常复杂，多看书
结论：${\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}}$（链式法则）

p.s.

1. 注意区分，先换再导：$f(g(x))'$、先导再换：$f'(g(x))$
2. $\frac{d}{dx}$是导数算子，表示对x求导
3. 难题：习题2-3 T4-T7

④高阶导数

1. $y'' = (y')' = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}y'= \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = \frac{\mathrm{d^2} y}{\mathrm{d} x^2}$$其中{dx^2} 相当于 (dx)^2 但和 d(x^2)完全不一样$
2. 常用的几个高阶导要牢记，三角函数和幂函数
3. 加减的函数的高阶导等于函数的高阶导的加减
4. 乘法，莱布尼茨公式，和二项式定理形式十分对称。一般两个函数相乘，其中可能有一个幂函数，经过若干次求导导数会变为0，或者是一个有规律的导数，可以把它们放在前头。
5. 尽管有莱布尼茨公式，在求n阶导时还是要尽量化简，并且把乘法转换为加减法（如裂项，积化和差...）（如总 2.10（2））

⑤隐函数

左右求导，考察的感觉还是复合函数的求导。可能有时要求二阶导，做法也一样。
另外也可以左右微分，利用一阶微分形式不变性

⑥由参数方程确定的函数

${\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}} = {\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t}}/{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}}$，优美！
需要注意的是，参数方程也有可能是一个隐函数方程，就用隐函数那套求$x'或y'$就好，最后的结果可以包含$y$。

相关变化率

目的是研究两个存在一定关系的变量，通过其中一个变量的变化率求出另外一个变量的变化率。
针对实际问题，关键是利用题目条件列出方程，综合利用复合函数求导，隐函数和参数方程等思想求解。我感觉刚开始挺难的，得多练几道题才行。

三、微分

研究对象：函数值的增量$\Delta y$

$$\begin{aligned}\Delta y & = A\Delta x + o(\Delta x) & \\ &= f'(x)\Delta x + o(\Delta x)\\ &= f'(x)dx + o(\Delta x) &\\& = dy + o(\Delta x)\end{aligned}$$

可以证明，$dy \sim\Delta y$,因此说$dy是\Delta y 的最佳近似$

思想——局部线性化：用一个线性函数在局部代替非线性函数；用切线段在局部代替曲线段

可微是可导的充要条件

若$dy = g(u)du则f'(u) = g(u)$

复合函数的微分法则

无论u是自变量还是中间变量，微分形式$dy = f'(u) du$保持不变。
可以用来一层一层地求复合函数的微分。

函数的近似

1. $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\approx dy = f'(x_0)\Delta x$
   常用以估算函数值的差
2. $f(x_0 + \Delta x) \approx f'(x_0)\Delta x + f(x_0)$
3. $f(x) \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$—几何意义：f（x)在x0处的切线
   常用以估计函数值，令$x_0=0$有，$f(x) \approx f(0)+f'(0)(x)$

后记

这篇文章目的就是总结记录一些常用的知识点，并记下自己学习过程中的体验和笔记。在下水平有限，如有错误以及疏漏，烦请各位看官批评指出。
另外感觉写到后面越写越拉了，都是一些人尽皆知的东西，似乎随着时间的推移只剩下一些书上简单的东西，缺乏自己的思考，感悟和总结。
希望日后学习一个小节之后，及时刷题并将课堂笔记、知识点与思考记录下来。