课堂小测总结——记若干道有价值的题目

连续

C选项，这个极限存在，只能说明在\(x_0\)处的左右极限存在且相等。连续，需要的是\(\lim\limits _{x \to x_0}f(x_0) = f(x_0)\)，这里并没有给出等式右边的信息，因此不能作出判断。

判断连续三步走：

1. \(f(x)在x_0处有定义\)
2. \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)存在\)
3. \(\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=f(x_0)\)
   以上三项任一一项不满足都不能判断连续。

另外，求导也有类似的情况：若\(\lim\limits _ {x \to x_0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0 - \Delta x)}{2\Delta x} = 0\)，并不能说明\(f'(x_0) = 0\).

间断点

错因：对间断的的认识不足，没有掌握求间断点的方法。
思路：
首先要找间断点，即没有定义的点或者分段点，在这里也就是使分母为零的点。
然后要看这些间断点的左右极限存不存在。
在求极限时会遇到两种情况，一种是分子趋向于0，另一种是分子趋于不为0的数。同时分母都是趋于0的。
因此要分两种情况分别求极限，前者要使用洛必达法则，结果是一个确定的数，即极限存在；后者则为无穷大，即极限不存在。
可去间断点就是极限存在但在该点没有定义，因此满足条件的间断点即分子的三个零点。

感觉间断点就是一些概念的组合，关键是求左右极限的意识。

左右极限 && 符号问题

=-=这题D选项第一次写没发现是错的，求左极限时有一步开根号时漏了负号，四个选项一但都对就容易慌了，又逐个验证了一遍才发现。

符号问题

意识到了要变号，但没有意识到分子分母都变号了。。。变了但没有完全变=_=

等价无穷小 && 泰勒展开 || 洛必达法则

求极限的过程中要用泰勒展开或者洛必达法则，当时没有这个意识。==

导数的定义

相当于对定义中的\(\Delta x\)进行了一个换元吧

等价无穷小 && 导数的定义（升级版16题）

这题考察了对导数的定义的理解，顺便还结合了等价无穷小，感觉挺好一题。

等价无穷小？&& 导数的定义

要点：利用导数的定义推出等价无穷小，然后插项构造这个等价无穷小。

p.s. 可以认为\(f(x) \sim x + f(0)\)，然后直接代换就好（省去插项）

做出来了，但感觉异常地复杂，挖个坑蹲简洁一点的做法。==

难题，奇怪的性质&&洛必达法则&&局部保号性

奇怪的性质：\(若\lim\limits_{x \to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = c(c为不为0的常数），且\lim\limits_{x \to x_0}g(x) = 0,则\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=0\)
这个做法还不知道对不对，挖个坑，稍后填