用线性代数解释图论中的一些结论

最近正在学习 Gilbert Strang 的线性代数，发现图论中的很多结论也可以从线性代数的角度解释，非常神奇。这里简单介绍一下矩阵的列空间、行空间、零空间等与图论的关系。

对于一张有 $n$ 个点、$m$ 条边的有向图（我们假设 $m\ge n-1$），我们可以构造一个 $m\times n$ 的矩阵，称为关联矩阵（incidence matrix）。矩阵的每一行代表一条边，每一列代表一个点。设 $r_i$ 为矩阵的第 $i$ 行，$c_j$ 为矩阵的第 $j$ 列，$a_{i,j}$ 为矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。如果第 $i$ 条边从点 $x$ 出发，指向点 $y$，那么令 $a_{i,x} = -1$，令 $a_{i,y} = 1$。

我们先把这张图假想为电路，来观察矩阵列空间的意义。我们知道，矩阵的列空间是矩阵里所有列向量线性组合获得的空间，可以表示为 $x_1c_1+x_2c_2+\dots+x_nc_n$。如果我们将 $x$ 看作每个点的电势，那么列空间里的向量代表的就是每一条边上的电势差。

再来看零空间。零空间就是使得列向量线性组合成零向量的所有 $x$ 组成的空间。“列向量线性组合成零向量”，就代表每一条边上的电势差都是 0。很显然，只有属于同一个连通块的每个点的电势都相等，每一条边上的电势差才能都是 0。设图中有 $k$ 个连通块，则零空间的维度是 $k$。这样，列空间的维度就是 $n-k$。

来看行空间。首先由于列空间的维度是 $n-k$，那么行空间的维度也是 $n-k$。也就是说，只有 $n-k$ 条边是“线性无关”的。这些边不会组成环，因为如果三条边 $u-v$，$v-w$，$w-u$ 组成了一个环，显然 $w-u$ 可以用 $(u-v)+(v-w)$ 再反向来表示。如果 $k=1$，我们就会发现：想要让 $n$ 个点互相连通，我们至少需要 $n-1$ 条边。这也从线性代数的角度解释了一棵树有 $n-1$ 条边的原因。

行空间可以表示为 $y_1r_1+y_2r_2+\dots+y_mr_m$，如果我们将 $y$ 看作每条边的电流大小，那么行空间里的向量代表的就是每个点电流的“收支情况”（流入量减去流出量）。另外，我们不难发现行空间的另一个性质：行空间里的向量每一维加起来的总和为 0。这看起来就像一个有源有汇的网络流模型：“收支平衡”的点是中间点，流入大于流出的点连向汇点，流出大于流入的点连向源点；而且，从源点流出的流量等于汇点吸收的流量。

最后来看左零空间（left nullspace）。左零空间里的向量，就是让所有点“收支平衡”的电流方案。我们知道，为了让每个点流量平衡，所有本质不同的环（不能通过其它环相互异或得到的环）都要流量平衡。而我们通过行空间的维度可以得知，左零空间的维度是 $m-(n-k) = m-n+k$，由此可以解释一个连通图中，本质不同的环只有 $n-m+1$ 个。