学习笔记：威尔逊定理

威尔逊定理

定义

威尔逊定理：对于素数 $p$ 有 $(p-1)!\equiv -1\pmod p$。

证明

我们知道在模奇素数 $p$ 意义下，$1,2,\dots ,p-1$ 都存在逆元且唯一，那么只需要将一个数与其逆元配对发现其乘积均为（同余意义下）$1$，但前提是这个数的逆元不等于自身。那么很显然 $(p-1)!\bmod p$ 就是逆元等于其自身的数的乘积，这两个数为 $\pm 1$。在 $p$ 为 $2$ 时单独讨论即可。

对于整数 $n$，令 $(n!)_p$ 表示所有小于等于 $n$ 但不能被 $p$ 整除的正整数的乘积，即 $(n!)_p=n!/(\lfloor n/p\rfloor !p^{\lfloor n/p\rfloor})$。

威尔逊定理指出 $(p!)_p=(p-1)!\equiv -1\pmod p$ 且可被推广至模素数 $p$ 的幂次。