学习笔记：费马小定理

费马小定理

定义

若 $p$ 是质数，且 $\gcd(a, p) = 1$，则有 $a^{p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$。

另一个形式：对于任意整数 $a$，有 $a^p \equiv a \pmod{p}$。

证明

设一个质数为 $p$，我们取一个不为 $p$ 倍数的数 $a$。

构造一个序列：$A=\{1,2,3\dots,p-1\}$，这个序列有着这样一个性质：

$$\prod_{i=1}^{n}\space A_i\equiv\prod_{i=1}^{n} (A_i\times a) \pmod p$$

证明：

因为 $(A_i,p)=1,(A_i\times a,p)=1$

又因为每一个 $A_i\times a \pmod p$ 都是独一无二的，且 $A_i\times a \pmod p < p$

得证（每一个 $A_i\times a$ 都对应了一个 $A_i$）

设 $f=(p-1)!$, 则 $f\equiv a\times A_1\times a\times A_2\times a \times A_3 \dots \times A_{p-1} \pmod p$

$$\begin{aligned} a^{p-1}\times f &\equiv f \pmod p \\ a^{p-1} &\equiv 1 \pmod p \end{aligned}$$

证毕。

也可用归纳法证明：

显然 $1^p\equiv 1\pmod p$，假设 $a^p\equiv a\pmod p$ 成立，那么通过二项式定理有

$$(a+1)^p=a^p+\binom{p}{1}a^{p-1}+\binom{p}{2}a^{p-2}+\cdots +\binom{p}{p-1}a+1$$

因为 $\displaystyle\binom{p}{k}=\frac{p(p-1)\cdots (p-k+1)}{k!}$ 对于 $1\leq k\leq p-1$ 成立，在模 $p$ 意义下 $\displaystyle\binom{p}{1}\equiv \binom{p}{2}\equiv \cdots \equiv \binom{p}{p-1}\equiv 0\pmod p$，那么 $(a+1)^p \equiv a^p +1\pmod p$，将 $a^p\equiv a\pmod p$ 带入得 $(a+1)^p\equiv a+1\pmod p$ 得证。

证毕。

应用

费马小定理可以用来求逆元。

若 $p$ 是质数，且 $\gcd(a,p)=1$，则有 $a^{p-1}\equiv1 \pmod p$。

由乘法逆元定义推导可知 $a\times\operatorname{inv}(a)\equiv1\equiv a^{p-1} \pmod p$，于是有：

$$\operatorname{inv}(a)\equiv a^{p-2} \pmod p \\ $$

也就是说，要求 $a$ 在模 $p$ 意义下的乘法逆元，只要求 $a^{p-2}$ 即可。至于乘方的话可以用快速幂浅浅优化一下。

int qpow(int a, int b){
    int res = 1;
    while(b > 0){
        if(b & 1){res *= a;res %= p;}
        a *= a;a %= p;b >>= 1;
    }
    return res;
}
int inv(int n, int p){return qpow(n, p - 2);}