学习笔记：2-SAT

2-SAT

什么是 2-SAT？

首先，把「2」和「SAT」拆开。SAT 是 Satisfiability 的缩写，意为可满足性。即一串布尔变量，每个变量只能为真或假。要求对这些变量进行赋值，满足布尔方程。

举个例子：假设一群 $\texttt{OIer}$ 在同一个机房里（其实根本不用假设），其中 tsq 为了能够花更多时间在搞颓和玩手机上（是这样的），希望 yb 能满足他的一些要求（例如不能在 tsq 搞颓时打扰他），假设现在有如下要求：

• tsq：我希望 yb 满足下列条件之一：
  1. 不要带 tsq 玩原神。（$\neg a$）
  2. 要带 tsq 搞卷。（$b$）
  3. 不要带 tsq 打 slay。（$\neg c$）
• tsqtsq：我希望 yb 满足下列条件之一：
  1. 要带 tsqtsq 玩原神。（$a$）
  2. 要带 tsqtsq 搞卷。（$b$）
  3. 不要带 tsqtsq 打 slay。（$\neg c$）
• tsqtsqtsq：我希望 yb 满足下列条件之一：
  1. 要带 tsqtsqtsq 玩原神。（$a$）
  2. 不要带 tsqtsqtsq 搞卷。（$\neg b$）
  3. 要带 tsqtsqtsq 打 slay。（$c$）

显然真实的 tsq 是第三种。

我们不妨把三种要求设为 $a$，$b$，$c$，变量前加 $\neg$ 表示「不」，即「假」。上述条件翻译成布尔方程即：$(\neg a\vee b\vee\neg c)\wedge(a\vee b\vee\neg c)\wedge(a\vee\neg b\vee c)$。其中，$\vee$ 表示或，$\wedge$ 表示与。（就像集合中并集交集一样）

现在要做的是，为 $abc$ 三个变量赋值，满足三位 $\texttt{OIer}$ 的要求。

Q: 这可怎么赋值啊？暴力？

A: 对，这是 SAT 问题，已被证明为 NP 完全 的，只能暴力。

Q: 那么 2-SAT 是什么呢？

A: 2-SAT，即每位同学只有两个条件（比如三位 $\texttt{OIer}$ 都对要不要 YB 带打 slay 没有要求，这就少了一个条件）不过，仍要使所有同学得到满足。于是，以上布尔方程当中的 $c$，$\neg c$ 没了，变成了这个样子：$(\neg a\vee b) \wedge (a\vee b) \wedge (a\vee\neg b)$。

怎么求解 2-SAT 问题？

使用强连通分量。 对于每一个变量 $x$，我们考虑建立两个点 $x$，$\neg x$ 分别表示变量 $x$ 取 true 或者 false。所以，图的节点的个数是变量个数的两倍。

在存储方式上，我们将第 $i$ 个变量记为 $i$，其对应的否定 $\neg i$ 则为 $i+n$。对于每一个 $\texttt{OIer}$ 的要求 $(a\vee b)$，我们转换为 $\neg a\rightarrow b\wedge \neg b\rightarrow a$。

对于这个式子，可以感性理解为：若 $a$ 假则 $b$ 必真，若 $b$ 假则 $a$ 必真。

我们考虑这样建图：

原式	建图
$\neg a\vee b$	$a\rightarrow b\wedge\neg b\rightarrow\neg a$
$a \vee b$	$\neg a\rightarrow b\wedge\neg b\rightarrow a$
$\neg a\vee\neg b$	$a\rightarrow\neg b\wedge b\rightarrow\neg a$

建图之后，容易发现同一强连通分量内的变量值一定是相等的。

也就是说，如果 $x$ 与 $\neg x$ 在同一强连通分量内部，一定无解。反之，就一定有解了。

但是，对于一组布尔方程，可能会有多组解同时成立。要怎样判断给每个布尔变量赋的值是否恰好构成一组解呢？

这个很简单，只需要 当 $x$ 所在的强连通分量的拓扑序在 $\neg x$ 所在的强连通分量的拓扑序之后取 $x$ 为真就可以了。在使用 Tarjan 算法缩点找强连通分量的过程中，已经为每组强连通分量标记好顺序了——不过是反着的拓扑序。所以一定要写成 scc[x] < scc[-x] 。

时间复杂度：$O(N + M)$。

#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 4e6 + 5;
int n, m, a, b, x, y;
struct edge{int to, nxt;}e[N];
int head[N], cnt = 1;
int dfn[N], low[N], scc[N], tot, sum;
int stk[N], top;
bool vis[N];
int read(){
    int t = 1, x = 0;char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')t = -1;ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)){x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);ch = getchar();}
    return x * t;
}
void add(int u, int v){
    cnt++;e[cnt].to = v;e[cnt].nxt = head[u];head[u] = cnt;
}
void tarjan(int u){
    tot++;top++;
    dfn[u] = tot;low[u] = tot;
    stk[top] = u;
    vis[u] = true;
    for(int i = head[u] ; i != 0 ; i = e[i].nxt){
        int v = e[i].to;
        if(dfn[v] == 0)
            tarjan(v),low[u] = min(low[u], low[v]);
        else if(vis[v] == true)low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
    if(dfn[u] == low[u]){
        sum++;
        while(stk[top + 1] != u){
            scc[stk[top]] = sum;
            vis[stk[top]] = 0;
            top--;
        }
    }
}
int main(){
    n = read();m = read();
    for(int i = 1 ; i <= m ; i ++){
        a = read();x = read();b = read();y = read();
        if(x == 0 && y == 0)add(a + n, b),add(b + n, a);
        if(x == 0 && y == 1)add(a + n, b + n),add(b, a);
        if(x == 1 && y == 0)add(a, b),add(b + n, a + n);
        if(x == 1 && y == 1)add(a, b + n),add(b, a + n);
    }
    for(int i = 1 ; i <= (n << 1) ; i ++)
        if(dfn[i] == 0)tarjan(i);
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++)
        if(scc[i] == scc[i + n]){
            puts("IMPOSSIBLE");return 0;
        }
    puts("POSSIBLE");
    for(int i = 1 ; i <= n ; i ++){
        if(i != 1)putchar(' ');
        if(scc[i] > scc[i + n])putchar('1');
        else putchar('0');
    }
    putchar('\n');return 0;
}