连续可导总结

极限存在

极限存在的左右极限存在且相等，

• 极限存在的条件，不为无穷，且左右极限相等，左右极限等，极限也不存在

条件比连续弱

连续

连续定义:

\(\lim_{x->x_0^-} f(x) = f(x_0)\),为左连续

\(\lim_{x->x_0^+} f(x) = f(x_0)\),为右连续

以前认为，左右极限相等是错的，参考可去间断点，左右也相等，但是不连续

这里纠正，函数极限存在相等不一定连续，应该是左连续等于右连续

• 这里比极限存在条件强，当\(\lim_{x->x_0}f(x) = f(x_0)\)

导函数导数

导数

可导是左右导数存在且相等

这里可导推不出导函数连续，以为虽然我左右导数等，即\(f'(x_0^-) = f'(x_0^+)\)但是他们不一定就等于\(f'(x_0^-) = f'(x_0^+) = f'(x_0)\),条件只说了是左右相等存在，所有推不出导函数连续，只能推原函数连续

具体的某一点，有定义求出

定义只是在某点上，

如导数存在同时也能推出函数连续

因为导数存在，那么有

\[\lim_{ \Delta x->0^+} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} =\lim_{ \Delta x->0^-} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

且存在
那么 分母1趋于零，分子也为零，所有有\(\lim_{ \Delta x->0^+} f(x_0+\Delta x) - f(x_0) =\lim_{ \Delta x->0^-} f(x_0+\Delta x) - f(x_0) = 0\)

正好求得连续定义，这里函数可导求得的原函数连续，

导函数

讨论的函数，还是具有极限和连续，当说某函数n阶可导，是n阶导数还是要讨论它极限存在和连续性质

比如

这里导数n阶可导，只能推函数有n阶导数，具体的某一个点还是要讨论存在否，导数